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2010年3月 5日 (金)

規則性の問題 図形 第8問 (世田谷学園中学 2009年(平成21年度) 受験問題 算数)

 

問題 (世田谷学園中学 2009年 受験問題 算数)

     難易度★★★★

        Pic_1124q

 正三角形の半分の直角三角形OABがあり、OAの長さは10cm

です。辺OBを斜辺として、三角形OABと相似な直角三角形OBCを

並べます。さらに相似な直角三角形OCDを並べ、この作業を

くり返します。このとき、次の問に答えなさい。

 

 (1)OCの長さを求めなさい。

 (2)三角形OABを1番目としたとき、9番目の直角三角形の

    辺のうち、最も短い辺の長さを求めなさい。

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解答

 (1)BからOAに垂線BPを下ろすと、下の図1のように

        Pic_1125a

三角形OBPと三角形OBCは合同で、OC=OPとなります。

ここで、三角形OABと三角形BAPが相似で、OA:AB=2:1より

AB=5cm、AP=5÷2=2.5cm とわかるので、

OP=OC=10-2.5=7.5cm と求められます。

 

 (2)OC=7.5cm なので、CD=7.5÷2=3.75cm です。

相似な図形が並ぶので、図1のAの位置にCをもってくると、

図2のようになります。

       Pic_1126a

図1と図2は相似で、AB:CD=CD:EF となり、

AB:CD=5:3.75=4:3 より、

CD=AB×3/4

EF=CD×3/4  となります。

 

9番目の三角形の最も短い辺の長さは、

AB×3/4×3/4×3/4×3/4

=5×81/256

=405/256 cm

1と149/256 (cm) と求められます。

 

 

 世田谷学園中学の過去問題集は → こちら

 世田谷学園中学の他の問題は → こちら

 

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