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2010年3月19日 (金)

平面図形の長さ 第14問 (ジュニア算数オリンピック・ファイナル 2009年(平成21年度))

 

問題 (ジュニア算数オリンピック 2009年) 難易度★★★★★★

     Pic_1154q

 三角形ABCは、AC=9.5cmで、面積が15c㎡ です。

BCのまん中の点をDとすると、角ADC=135°になりました。

このとき、ABの長さを求めなさい。

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まずは、解答を見ないで悩んでみてください。

ご家族にも出題してみてください。

もう、よろしいですか?

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解答 

 AからBCに垂線AOを下ろすと、下の図1のように、

  Pic_1202a

三角形AODは直角二等辺三角形となります。

BD=CD、OA=OD=OB+BD です。

 

 三角形AOCを4個、下の図2のように集めると、

Pic_1203a_2

手裏剣のような形ですが、AC=9.5cmを1辺とする正方形の

内部にOEを1辺とする正方形の空洞ができます。

 

図2において、CE=OA=ODなので、

OE=OC-CE=OC-OD=CD=BD とわかります。

すると、OE=OB+BE、BD=BE+ED なので、

OB=ED ということになります。

 

次に、OF=ED なので、OF=OB です。(AF=BD)

すなわち、三角形OFBは、直角二等辺三角形なので、

角OBF=角OFB=45° となります。(下の図3)

Pic_1204a

よって、ADとBFが平行だとわかったので、三角形ABD

等積変形してみましょう。すると、下の図4のように、

Pic_1205a

三角形AFDに変形できます。ここで、三角形ABDと三角形AFDに

ついて、AD共通、AF=BD、角FAD=角BDAなので、

三角形ABDと三角形AFDは合同となるので、AB=DF です。

 

ほかの3つの部分についても同様に等積変形すると、

下の図5のようにすることができます。

Pic_1206a

図5は、AC=9.5cmを1辺とする正方形の中に、

DFを1辺とする正方形が入っている形ですね。

 

三角形ABCの面積=四角形AFDCの面積=15c㎡ で、

求めるABの長さ=DFの長さ なので、

9.5×9.5=15×4+AB×AB と表すことができ、

AB×AB=30.25=3025÷100=(55×55)÷(10×10)

ということから、AB=55÷10=5.5cm と求められます。

 

 

 これが解けたら・・・あなたはエスパーかもしれない・・・

 

 

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コメント

難しいですが、平行線で等積変形というよりもADを共有したままで三角形ABDを反転させたと考える方が妥当かと思います。角ADBが45度、DAC+DCAも45度なので、この図形をDCと元BDをくっつけるように4枚重ねて正方形を作ると以降は解説のとおりとなります。

投稿: これは | 2011年2月24日 (木) 14時46分

これは様、コメントありがとうございます。
 
小学生にとっては平行移動より回転や反転といった
考え方の方が難しいので、解説では等積変形の形を
取らせていただいております。

移動させて重ねてと非常に難しい問題ですので、
解法を見て納得していただければ幸いです。

またお気づきの点がございましたら、コメント
よろしくお願いいたします。

投稿: 桜組 | 2011年2月24日 (木) 17時07分

三平方の定理を使って良いなら簡単な問題だと思いました

算数オリンピックを受けるくらいの小学生なら、予習して三平方の定理くらいは知っているのではないでしょうか?

そういうことを考えると、実際の正答率はかなり高いものだったのではと推測します

....................

投稿: | 2015年7月24日 (金) 01時33分

こんにちは。正弦定理と余弦定理だったら簡単に解くことはできますね。算数ではありませんが笑
BD=DC=XとしてADをYとする。
ここで、△ADCにおいて余弦定理より、
AB^2=Y^2+X^2−√2XY・・・①
また、△ADBにおいて余弦定理より、
AD^2=Y^2+X^2+√2XY・・・②
ここで、△ADC=15×1/2=7.5より、
1/2XYsin135°=7.5
XY=15√2・・・③
③を①,②に代入してAB^2=30.25 AB>0よりAB=5.5

投稿: Spica | 2016年3月13日 (日) 11時39分

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