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2010年3月11日 (木)

サイコロ 第2問 (立教新座中学 2008年(平成20年度) 受験問題 算数)

 

問題 (立教新座中学 2008年 受験問題 算数) 難易度★★★★

 

向かい合う面の目の数の和が7で、1辺が1cmのサイコロが

たくさんあります。このサイコロをノリではり合わせ、1辺が6cmの

立方体を作りました。ただし、この立方体の内部にはサイコロが

入っていません。さらに、立方体の面には、どの面も同じ目が

並んでいます。このとき次の問に答えなさい。

 

 (1)使われたサイコロの個数を答えなさい。

 (2)表面に出ている目の和が9であるようなサイコロは何個

    ありますか。

 (3)ノリではり合わされた面の目の数の合計を求めなさい。

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解答

 (1)立方体の内部にはサイコロが入っていないので、空洞です。

よって、この立方体は、下の図1のように

 Pic_1157a

内部にサイコロ4×4×4個分の空洞があり、立方体を作るのに

用いられているサイコロの個数は、

 6×6×6-4×4×4=216-64=152個 となります。

 

 

 (2)立方体の面は、どの面も同じ目が並んでいるので、

下の図2のようになっていることになります。

 Pic_1158a_2

これは、大きなサイコロとして考えて、下の図3のように考えることが

できます。

        Pic_1159a

表面に出ている目の和が「9」になるようなサイコロは、

図2の青いサイコロがあります。(1+3+5=9

 

また、2面が表面に出ているサイコロで、

 6と3の面が出ているサイコロ(図2の黄色いサイコロ)、

 5と4の面が出ているサイコロ(図2のオレンジのサイコロ)、

の2種類のサイコロも考えられるので、表面に出ている目の和が

9であるサイコロは、1+4+4=9個 あるということになります。

 

 

(3)1個のサイコロの目の和は、1+2+3+4+5+6=21です。

 

(1)より、152個のサイコロが使われているので、

1辺6cmの立方体のサイコロにある目の和は、

21×152 ということになります。

 

1辺6cmの立方体のサイコロの表面に出ている目の和は、

1つの面につき、6×6=36個のサイコロの目が出ているので、

(1+2+3+4+5+6)×36=21×36 となります。

 

また、はり合わされている面以外では、表面の裏側にある面

あります。これは、表面に出ている目を7から引いた数ですが、

上下左右前後を考えると、1,2,3,4,5,6の目が等しくあり

内部には、4×4×4の空洞があることから、表面の裏側の

目の和は、4×4×(1+2+3+4+5+6)=16×21

わかります。 

 

よって、ノリではり合わされた面の目の数の合計は、

 21×152-(21×36+21×16)=21×(152-52)

2100 となります。

 

 

 立教新座中学の過去問題集は → こちら

 立教新座中学の他の問題は → こちら

 

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