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2010年3月 1日 (月)

場合の数 第22問 選び方 (灘中学 2008年(平成20年度) 受験問題 算数)

 

問題 (灘中学 2008年 受験問題 算数) 難易度★★★★★

 

第一中学校の先生Aと生徒ア、第二中学校の先生Bと生徒イ、

第三中学校の先生Cと生徒ウ、第四中学校の先生Dと生徒エの

8人が集まった。この8人で2人ずつ4つの組を作るとき、

次の各問いに答えなさい。

 

(1)4つの組の作り方は全部で何通りありますか。

(2)どの組も先生と生徒の組み合わせになる4つの組の作り方は

   全部で何通りありますか。

(3)どの組も異なる中学校から来た人の組み合わせになる4つの

   組の作り方は全部で何通りあるか。

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解答

 (1)この問題は、8人を4つの組に分けると何通りできるか、

という問題ですね。

 

まずAさんは、B,C,D,ア、イ、ウ、エ の7人と

組む場合が考えられます。(7通り

B,C,D、ア、イ、ウ、エの7人についても、それぞれ残りの7人と

組む場合が考えられます。

 

仮にAさんがアと組んだとしましょう。

 

残るのは、B,C,D,イ、ウ、エの6人です。

Bさんについて考えると、残りの5人と組む場合が考えられます。

5通り

C,D,イ、ウ、エについても、残りの5人と組む場合が

考えられます。

 

Bさんが仮にイと組んだとしましょう。

 

残ったのはC,D,ウ、エの4人です。

Cさんは、残り3人と組む場合が考えられます。

Cさんが誰かと組むと、最後に残った2人は自動的に組に

なります。 

 

よって、この4人を2組に分ける分け方は、3通りということです。

(C,D)、(C,ウ)、(C,エ) → 残りは自動的に決まる。

 

よって、8人を4組に分ける分け方は、

 7×5×3=105通り

です。

 

 (2)どの組も先生と生徒が組む場合を考えると、

Aさん→ア、イ、ウ、エから1人を選ぶ→4通り

Bさん→Aさんと組んだ人以外の3人から選ぶ→3通り

Cさん→残り2人から1人を選ぶ→2通り

Dさん→最後に残った人と組む→1通り

 

よって、先生と生徒が組になるのは、

 4×3×2×1=24通り

です。

 

 (3)まず1人目を選びましょう。

仮にAさんを選ぶと、組になれるのは、アさん以外の6人なので、

6通りとなります。

 

Aさんの組にエさんが選ばれたとしましょう。

 

残った6人について、B,C,D,ア、イ、ウ です。

 

Dさんとアさんが組んだとき、残りはB,C,イ、ウとなり、

この4人は(B,ウ)、(C,イ)または(B,C)、(イ、ウ)と組まないと

いけません。Dさんがアさんと組んだときは、考えられる組は

2通り ということになります。

 

Dさんとアさんが組まなかったとき、できる組は、

Dさんとイさん(またはウさん、Bさん、Cさん)が組むので、

残りは、(ア、、B,)となります。

ウさんとCさんは同じ組にはできないので、

(ア、ウ)、(B,C)

(B,ウ)、(ア、C) の2通り の組が考えられます。

よって、Dさんがアさん以外と組むとき、4×2=8通り の組が

考えられます。 

 

よって、Aさんとエさんが組んだとき、考えられる組は、

2+8=10通り となります。

 

Aさんは、B,C,D,イ、ウ、エ の6人と組を作れるので、

全部で6×10=60通り の組が考えられます。

 

 

 灘中学の過去問題集は → こちら

 灘中学の他の問題は → こちら

 

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