規則性の問題 数の並び 第２１問 循環小数 （豊島岡女子学園中学 2007年（平成19年度） 受験問題 算数）

問題　（豊島岡女子学園中学　2007年　受験問題　算数）　

　　　　 難易度★★★★

　分数を小数に直すとき、分母が９，９９，９９９、・・・のときは、

下の例のように、小数点以下に分子の数が並びます。

　（例）

　５/９＝０．５５５５・・・

　２３/９９＝０．２３２３２３２３・・・

　８０６/９９９＝０．８０６８０６８０６・・・

このことを利用して次の問に答えなさい。

　（１）４１/３３３ を小数に表すとき、小数第１００位までに

　　　 数字の「１」は何回現れるか答えなさい。

　（２）４１/３３３ と ９/１１ を小数に表して、小数第１００位までを

　　　 比べるとき、各位の数が同じものは何個ありますか。

　　　たとえば、３/７ と ８/１３ では、

　　　　　４/７＝０．５７１４２８５７１４２８・・・

　　　　８/３３＝０．２４２４２４２４２４２４・・・

　　　小数第４，５，１０，１１，・・・位にて同じ数になります。

　（３）４１/３３３ と □/３３ を小数に表して、小数第５０位までを

　　　 比べると、各位の数が同じになるものは８個あり、いずれも

　　　 数字の「１」でした。□/３３がこれ以上約分できない分数で

　　　 １より小さいとき、□にあてはまる数を答えなさい。

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解答

　（１）４１/３３３＝１２３/９９９ なので、小数に表すと、

１２３/９９９＝０．１２３１２３１２３…となり、「１２３」がくり返されます。

よって、小数第１００位までに、「１２３」の３個の数字のかたまりは

１００÷３＝３３あまり１　より、３３個あり、第１００位は「１２３」の

１番目の「１」となるので、第１００位までに「１」は３３＋１＝３４個

現れます。

　（２）９/１１＝８１/９９ なので、小数に表すと、

  ８１/９９＝０．８１８１８１８１８１８１・・・となります。

４１/３３３＝０．１２３１２３１２３１２３・・・なので、

「８１」（２個の数）のくり返しと、「１２３」（３個の数）のくり返しなので、

２と３の最小公倍数の６個ごとに数が等しくなり、最初に同じ数が

現れるのは小数第４位ということから、

　小数第４，１０，１６，２２，・・・の位で同じ数になります。

小数第１００位までに、何個あるかというと、

　（１００－４）÷６＝１６ より、１６＋１＝１７個 となります。

【４・・１０・・１６・・・・・・１００】→【４】、【・・・６・・１２・・１８・・・・・・９６】

（１＋１６＝１７個）

　（３）４１/３３３＝０．１２３１２３１２３… なので、小数第５０位までに

「１」は、５０÷３＝１６あまり２ より、１６＋１＝１７回現れます。

□/３３＝■/９９ （■＝□×３） と表すことができ、

　■＝○△（１０の位を○、１の位を△）とすると、○か△が「１」で、

　 ■/９９＝０．○△○△○△○△○△・・・となり、

４１/３３３＝０．１ ２ ３ １ ２ ３ １ ２ ３ 1 ２ ３・・・と比べると、

○＝１のとき、　

　　■/９９＝０．１△１△１△１△・・・

　４１/３３３＝０．１２ ３ １２３ １２ ３・・・

小数第１，７，１３，・・・，４９位 までの９個が同じになるので、条件に

合いません。

よって、△＝１となります。

一応確認すると、

　０．○１○１○１○１○１・・・

　０．１ ２ ３１ ２３ １２ ３１２ ３・・・

となり、小数第４，１０，１６，・・・，４６位の８個が同じになります。

すると、□/３３＝■/９９＝○１/９９ となります。

○１/９９ の分子は、□×３ なので、３の倍数になるので、

○に当てはまる数は、２，５，８ となります。

○＝２のとき、２１/９９＝０．２１２１２１・・・→「２」も同じになる

○＝５のとき、５１/９９＝１７/３３

○＝８のとき、８１/９９＝２７/３３＝９/１１　（約分できてしまう）

以上のことから、□＝１７ です。

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