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2010年3月 3日 (水)

立体図形の体積 第10問 (湘南白百合学園中学 2005年(平成17年度) 受験問題 算数)

 

問題 (湘南白百合学園中学 2005年 受験問題 算数)

     難易度★★★

 

 底面の円の半径4cm、高さ6cmの円すいと、底面の円の

半径4cm、高さ10cmの円すいが、図のように重なっています。

それぞれの円すいの頂点A,Bを結ぶ線は、円すいの底面に

垂直で、一方の円すいの頂点Bは、もう一方の円すいの底面の

円の中心と重なっています。このとき、次の問に答えなさい。

円周率は3.14とし、小数第2位を四捨五入しなさい。

       Pic_1112q_2

(1)2つの円すいの重なった部分の体積を求めなさい。

(2)立体の体積を求めなさい。 

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解答

 (1)2つの円すいが重なっている部分は、下の図1のように、

       Pic_1113a

黄色い部分です。立体を真横から見ると、下の図2のようになり、

      Pic_1114a

三角形ABHと三角形ACFが相似で、AB=10cm、BH=4cm、

AC=4cm なので、CF=4÷10×4=1.6cm となり、

EF=4-1.6=2.4cm です。

 

三角形EFGと三角形BHGが相似で、EF=2.4cm、BH=4cm

より、それぞれの高さの比、CD:DB=2.4:4=3:5 で、

BC=6cm より、CD=6÷(3+5)×3=9/4 cm

DB=6-9/4=15/4 cm とわかります。

 

次に、三角形BCE と三角形BDG が相似で、CE=4cm、

BC:BD=8:5 なので、DG=4÷8×5=2.5cm です。 

     Pic_1115a

図3より、2つの円すいの重なった部分の体積は、

 2.5×2.5×3.14×15/4÷3

 +{2.5×2.5×3.14×(4+9/4)÷3-1.6×1.6×3.14×4÷3}

52.26×3.14÷3=17.42×3.14

= 54.6988 ≒ 54.7c㎥ です。

 

  

 (2)立体の体積は、

4×4×3.14×6÷3+4×4×3.14×10÷3-54.6988

=256×3.14÷3-52.26×3.14÷3

=203.74×3.14÷3

=213.24・・・

213.2c㎥ です。

 

 

 湘南白百合学園中学の過去問題集は → こちら

 湘南白百合学園中学の他の問題は → こちら

 

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