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2010年3月18日 (木)

立体図形の展開図 (切り口を展開図に描く) 第21問 (灘中学 2005年(平成17年度) 入試問題 算数)

 

問題 (灘中学 2005年 入試問題 算数) 難易度★★★

         Pic_1190q

 図1は1辺の長さ6cmの立方体で、AP,AQ,BRの長さは

いずれも2cmです。3点P,Q,Rを通る平面で立方体を切る

とき、次の問に答えなさい。

 

 (1)図2は、この立方体の展開図です。3点P,Q,Rを通る

平面による立方体の切り口を展開図に書きなさい。

Pic_1191q

 (2)(1)で書きこんだ線で展開図をはさみで切ると、展開図は

いくつかの部分に分かれます。そのうち面積が一番大きいものと

二番目に大きいものの面積を求めなさい。

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解答

 (1)まず、P,Q,Rの3点を通る平面で立方体を切ると

どうなるか考えましょう。

 

 PQを通る面と平行な、反対側のRを含む面を考えます。

         Pic_1192a_2

図3のように、Rを通りPQと平行な線RSが、切り口を通る線に

なります。

 

三角形APQ,BRSは直角二等辺三角形なので、下の図4の

ような、PQ,SRに垂直な面を考えると、

     Pic_1193a

黄色い三角形は合同となるので、切り口は下の図5のように、

         Pic_1194a

立方体の辺のまん中の点T,Uを通ることがわかります。

この切り口を図2の展開図に書きこむと、下の図6のようになります。

Pic_1195a

 

 (2)図6より、展開図は3つの部分に分けられることがわかります。

ひと目で、一番大きい部分と二番目に大きい部分は下の図7の

オレンジの部分と紫の部分だとわかりますね。

Pic_1196a

図7において、面積を計算しなければなりませんが、

下の図8のように、

Pic_1197a_2

赤い三角形、水色の三角形がそれぞれ合同であることを利用して

図7のオレンジの部分の面積=6×6×3=108c㎡

紫の部分の面積=6×6×2+2×2÷2-4×3÷2=68c㎡

と求めることができます。     

 

 

 【関連問題】 

  立体図形の展開図 (駒場東邦中学 2008年)

  立体図形の展開図 (開成中学 2006年)

 

 

 灘中学の過去問題集は → こちら

 灘中学の他の問題は → こちら

 

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