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2010年3月 9日 (火)

立体図形の体積 第12問 (桜蔭中学 2005年(平成17年度) 入試問題 算数)

 

問題 (桜蔭中学 2005年 入試問題 算数) 難易度★★★

 

たて25cm、横32cm、深さ23cmの水そうに、深さ10cmまで

水が入っています。底面が1辺5cmの正方形で高さ21cmの

直方体の重りを正方形の面が水そうの底に付くように1本ずつ

入れます。

 

(1)何本目の重りを入れると、水そうに入っているすべての

   重りが初めて水面より下になりますか。

(2)1本目の重りを入れたとき、水面は何cm上がりますか。

(3)13本目の重りを入れたとき、水面の深さは何cmになりますか。

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解答

 (1)水そうの底面積は、25×32=800c㎡ です。

Pic_1148a

イメージとしては、上の図1のように、ある1本を入れると水面の

高さが重りの高さ21cmより上になることになります。

 

入れた重りと水面の高さの関係は、下の図2のように

Pic_1149a

青い線で囲まれた体積と、重りの水面下の体積が等しい関係に

なります。

 

この関係を図1に当てはめると、□本で水面の高さが重りの高さ

より高くなるとすると、

5×5×21×□の体積は、水の体積:800×(21-10)より大きく 

5×5×21×(□-1)の体積は、800×(21-10)より小さい

ということになります。

800×(21-10)÷(5×5×21)=16.7・・・ なので、

16本目まで入れたときは、水面は重りの高さより低く、

17本目を入れると、水面は重りの高さより高くなることになります。

 

よって、入れた重りが初めて水面より下になるのは17本目

重りを入れたときです。 

 

 

 (2)図2で、1本重りを入れたとき、○cm水面が上がったとすると

5×5×(10+○)=800×○ となるので、

775×○=250 より、○=10/31 cm です。

 

 (3)図2の重りが13本を表しているとして、△cm水面が上がった

とすると、

 5×5×13×(10+△)=800×△ となるので、

475×△=3250 より、△=130/19 cm より、

水面の高さは、10+130/19=16と16/19 cm です。

 

 

 【関連問題

  立体図形の体積 (洛南高校附属中学 2002年)

  立体図形の体積 (ラ・サール中学 2000年)

 

 桜蔭中学の過去問題集は → こちら

 桜蔭中学の他の問題は → こちら

 

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