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2010年3月17日 (水)

最短ルート 第4問 (巣鴨中学 2002年(平成14年度) 入試問題 算数)

 

問題 (巣鴨中学 2002年 入試問題 算数) 難易度★★★★★

Pic_1175q

 図1のように、底面の直径が4cm、OAの長さが24cmの

円すいがあります。図2、図3、図4のように、それぞれ1本の

ひもを、ひもの長さが最も短くなるように点A から点A まで

巻きつけます。このとき、次の問に答えなさい。必要な場合は

図5の三角形を利用しなさい。

      Pic_1176q

(1)図2では、ひもを2回巻きつけてあります。そのひもの長さを

   1辺の長さとする正方形の面積を求めなさい。

(2)図3では、ひもを3回巻きつけてあります。そのひもの長さを

   1辺の長さとする正方形の面積を求めなさい。

(3)図4では、ひもを4回巻きつけてあります。円すいの側面積の

   うち、一番上にあるひもより上の黄色い部分の面積を、

   四捨五入して小数第一位まで求めなさい。

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解答 

 (1)下の図6のように、ひもを1回巻きつけたとき、

Pic_1177a

ひもが作る線は、図7の展開図の扇形のAA’の線になります。

(参考問題 → 最短ルート 第3問

 

では、図2のようにひもを2回巻きつけると、どのような線になるか

考えてみましょう。まず図8のように、ひもを1周まで巻きつけ、

半分の点Bまでひもを巻いたとき、ひもが作る線は図9のように

Pic_1178a

直線ABとなるのが最短です。(ただし、点Bの位置は不明です)

ここまでの理解は簡単だと思います。

 

 次に、点Bからひもを一周させて点Aに戻さなくてはなりません。

戻るときにできる線も、直線ABと同じ長さが最短です。

 図10のように、扇形OAA’を2つ並べるのが”ミソ”です。

   Pic_1179a

すると、点Bから点Aへ戻るときの線は、図10の緑の線となり、

A→B→A”の順にひもを巻きつけたことがわかります。

 

さて、ひもの長さが最短になるように巻くということは、

すなわち、ABの長さ+BA”の長さの和が最も短くなるように

点Bを定めればよいことになります。

 

図10を参考にして考えると、図11のように点Bは、

   Pic_1180a

AA”とOA’の交点の位置とき、AB+BA”の長さの和が最短です。

 

角AOA’について、角度を□度とすると、

24×2×3.14×□/360=4×3.14 より、

□=30°とわかります。 

 

よって、図11の三角形OAA”は正三角形ということになり、

ひもの長さAA”=OA=24cm と求められ、ひもの長さを

1辺の長さとする正方形の面積は、24×24=576c㎡ です。

 

 

 (2)(1)と同様に考えると、図3では、ひもはA→B、B→B、B→A

の順に3回巻きつけてあるので、図12のような線を作ります。

Pic_1181a

このとき、A,B,B’,A”’の4点が一直線になるとき、

AB+BB’+B’A”’の長さの和は、最も短くなることがわかります。

 

角AOA’=30°なので、角AOA”’=90°とわかり、

三角形AOA”’は直角二等辺三角形なので、

ひもの長さAA”’を1辺とする正方形の面積は、下の図13のように

    Pic_1182a

三角形OAA”’の面積の4倍に等しく、

 24×24÷2×4=1152c㎡ となります。  

 

 

 (3)図4のように、4回巻きつけたひもの長さは、

     Pic_1183a_3

図14のように、A→B,B→C,C→B’,B’→A””と一直線に

なるときが最短です。

 

求める側面積の部分は、図4で、ひもを点D→点C、点C→点D を

巻きつけたところより上の部分で、図示すると図15のように、

         Pic_1184a

青い三角形ODD’となります。

 (E’,E”はA’A”、A”A”’の真ん中、D,D’はOE’,OE”と

  AA””との交点)

 

図15において、三角形OACは正三角形の半分の直角三角形

なので、OC=OA÷2=12cm

 OD=OD’の長さは、図5より、OC:OD’=0.96:1なので、

 OD=12÷0.96=12.5cm

と、それぞれ求められます。

 

次に求めたいのは、DD’の長さです。

三角形ODD’は、三角形OE’E”と相似で、

三角形OE’E”は、三角形OAA’と合同なので、

AA’の長さを求めると、

      Pic_1185a

図16のように、AからOA’に垂線AFを下ろすと、

AF=24÷2=12cmで、三角形AFA’は、図5の三角形と相似

なので、AA’:AF=1:0.96 より、

     AA’=12÷0.96=12.5cm と、求められます。

 

よって、下の図17のようになり、

         Pic_1186a

DD’:E’E”=OD:OE’ より、

DD’=12.5×12.5÷24(cm) なので、

求める三角形ODD’の面積は、DD’×OC÷2より、

 12.5×12.5÷24×12÷2

=12.5×12.5÷4=39.0625≒39.1c㎡ となります。

 

 

 【関連問題

  最短ルート (六甲中学 2008年)

  最短ルート (渋谷教育学園渋谷中学 2007年)

  最短ルート (慶應義塾中等部 2002年)

 

 

 巣鴨中学の過去問題集は → こちら

 巣鴨中学の他の問題は → こちら

 

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