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2010年3月 8日 (月)

立体図形の体積 第11問 (ラ・サール中学 2000年(平成12年度) 入試問題 算数)

 

問題 (ラ・サール中学 2000年 入試問題 算数) 難易度★★★★

 

図のような直方体ABCD-EFGHがあります。これをABGHを

通る面と、AFGDを通る面で切断し、底面EFGHのある立体を残し、

これを立体Vとします。

   Pic_1139q

角すいの体積=底面積×高さ÷3 のとき、次の問に答えなさい。

 

(1)立体Vの体積と表面積を求めなさい。 

(2)立体Vを面EFGHを下にして、高さ1cmまで水の入った

   柱形の容器に沈めたところ、水の高さは2cmになりました。

   そのままの状態で水を足し、ちょうど立体Vが全て水に入って

   から、立体Vを容器から出すと、水の高さは何cmになりますか。

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解答

 (1)立体Vは、下の図1のような形になります。

    Pic_1140a

立体Vは、底面が3cm×3cmの正方形、高さAE=4cmの

四角すいなので、体積は、3×3×4÷3=12c㎥ です。

 

立体Vの表面積は、底面の正方形EFGH、

直角三角形AEF,AEH,AFG,AHG の面積の和で、

3×3+3×5÷2×2+3×4÷2×2=36c㎡ となります。

 

(2)立体Vを高さ1cmまで水の入ったある容器に入れると、

水の高さが2cmになったので、下の図2のように、

Pic_1141a

立体Vを三角形AEH側から見ると、立体Vの黄色い部分と、

青い線で囲まれた部分の体積が等しい ということになります。

 

立体Vの黄色い部分の体積は、水の上に出ている部分は

立体Vと相似比1:2なので、体積比1×1×1:2×2×2=1:8

より、立体Vの体積の7/8に相当し、(1)から立体Vの体積は

12c㎥ なので、黄色い部分の体積=12×7/8=10.5c㎥ です。

 

ゆえに、青い部分の体積が10.5c㎥ なので、

立体Vを入れた容器の底面積=10.5c㎥ ÷1cm=10.5c㎡

とわかります。

 

次に、立体Vを沈めてから、立体Vを取り除いた後の高さを

調べます。

Pic_1142a

上の図3のように、立体Vが入ったとき、高さは4cmになり、

水と立体Vの体積の和は、容器の底面積が10.5c㎥ なので、

10.5×4=42c㎥ となります。

 ここから、立体Vの体積12c㎥ を除いた、42-12=30c㎥ が

残った水の体積なので、容器の高さは、

 30÷10.5=20/7cm=2と6/7cm となります。

 

 

 【関連問題

  立体図形の体積 (洛南高校附属中学 2002年)

  立体図形の体積 (桜蔭中学 2005年)

 

 ラ・サール中学の過去問題集は → こちら   

 ラ・サール中学の他の問題は → こちら

 

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