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2010年2月26日 (金)

平面図形の角度 第33問 (甲陽学院中学 2010年 受験問題 算数)

 

問題 (甲陽学院中学 2010年 受験問題 算数) 難易度★★★

 

1辺の長さが6cmの正八角形があります。正八角形の頂点を

中心として円を描き、正八角形と円の重なった部分を切り取ります。

次のようなとき、残った図形の周の長さを求めなさい。

 

 (1)円の半径が3cmのとき

 (2)円の半径が6cmのとき

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解答

 (1)正八角形の1つの角度を求めると、

中心角が、360÷8=45°である二等辺三角形が8個

集まったものが正八角形なので、1つの角度は、下の図1のように

(180-45)÷2×2=135°と求められます。

   Pic_1103a_2

正八角形の各頂点を中心に半径3cmの円を描き、正八角形から

切り取ると、下の図2のようになります。

   Pic_1104a

この図形の周囲の長さは、

 3×2×3.14×(135×8)/360=56.52cm となります。

 

 (2)まず、となり合う2つの頂点を中心に半径6cmの円を描くと

    Pic_1105a

円の半径と正八角形の1辺の長さが等しいので、上の図3のように

正三角形ができます。

 

次に、3つ目の円を描くと、下の図4のように

    Pic_1106a

2つ目の正三角形ができます。正八角形の1つの角の大きさが

135°なので、図4のように正三角形2つを描くと、

下の図5のように

    Pic_1107a

中心角が135-60×2=15°の扇形が正三角形の間にはさまる

ことがわかるので、図5のように、残った図形の周の長さは、

中心角15°の扇形8個分の周の長さに等しく、

 6×2×3.14×(15×8)/360=12.56cm となります。

 

 

 甲陽学院中学の過去問題集は → こちら

 甲陽学院中学の他の問題は → こちら

 

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