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2010年2月18日 (木)

立体図形の切り口 第19問 (桜蔭中学 2010年(平成22年度) 受験問題 算数)

 

問題 (桜蔭中学 2010年 受験問題 算数) 難易度★★★★

 

下の図は立方体の展開図です。アとイは立方体の頂点、

ウ、エ、オは辺のまん中の点です。組み立てた立方体のアからオの

点のうち3点を選び、その3点を通る平面で立方体を切ったときの

切り口について考えます。(たとえばア、イ、オを選ぶと切り口は

長方形になります)

 ただし、3点がちょうど立方体の1つの面上にあるとき(たとえば

イとエとオを選んだとき)は考えないことにします。

 このとき、切り口が次の図形になるような3点の選び方を

すべて答えなさい。

 

 (1)アとイとオを選んだとき以外で切り口が長方形になる

    3点の選び方

 (2)切り口が台形になる3点の選び方

 (3)切り口が五角形になる3点の選び方

    Pic_1050q_3

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解答

 (1)立方体を組み立てると、アからオが表れるのは下の図1の

ようになります。

        Pic_1051a

 ア、イ、ウ、エ、オから3点を選ぶ選び方は

(ア、イ、ウ)

(ア、イ、エ)

(ア、イ、オ) → 長方形

(ア、ウ、エ)

(ア、ウ、オ)

(ア、エ、オ)

(イ、ウ、エ)

(イ、ウ、オ) → ×

(イ、エ、オ) → ×

(ウ、エ、オ) 

この10通りあります。

 

ア、イ、オを選ぶと、下の図2のように長方形になります。

        Pic_1052a

ア、イ、オと同様に、ア、エ、オを選ぶと下の図3のように長方形に

なります。

        Pic_1053a

また、イ、ウ、エを選んだときも切り口は長方形になります。

 

よって、(ア、イ、エ)、(イ、ウ、エ)を選んだとき、切り口は長方形に

なります。

 

 (2)まず、下の図4のようにア、ウ、オを選ぶと切り口は台形に

なります。

        Pic_1054a

ほかに台形になりそうな組を探します。

四角形を作りそうなア、イ、ウを選ぶと下の図5のように、

        Pic_1055a

平行四辺形(ひし形)となります。 ほかに四角形を作れる組は

ないので、台形を作る選び方は、(ア、ウ、オ)です。

 

 (3)切り口が五角形になるのは、まずア、エ、オを選んだときで、

下の図6のようになります。

        Pic_1056a

次に、ウ、エ、オの3点を選ぶと、下の図7のように

        Pic_1057a

六角形になります。

 

次に、ア、ウ、エを選ぶと下の図8のように

        Pic_1058a

五角形になります。

 

よって、切り口が五角形になるのは、(ア、エ、オ)、(ア、ウ、エ)を

選んだときです。

  

 ア、イ、ウ、エ、オから3点を選んだときにできる切り口は

(ア、イ、ウ) → ひし形

(ア、イ、エ) → 長方形

(ア、イ、オ) → 長方形

(ア、ウ、エ) → 五角形

(ア、ウ、オ) → 台形

(ア、エ、オ) → 五角形

(イ、ウ、エ) → 長方形

(イ、ウ、オ) → ×

(イ、エ、オ) → ×

(ウ、エ、オ) → 六角形

 以上のようになります。

 

 

 桜蔭中学の過去問題集は → こちら

 桜蔭中学の他の問題は → こちら

 

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