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2010年2月15日 (月)

魔方陣 第5問 (高槻中学 2009年(平成21年度) 受験問題 算数)

 

問題 (高槻中学 2009年 受験問題 算数) 難易度★★★★

Pic_1034q_2

 5つの正方形を組み合わせて、上の図のものを作りました。

それぞれの頂点には、1から16までの異なる16個の整数が

書かれており、それぞれの正方形の頂点の数字の和はすべて

等しくなっています。このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)1つの正方形の4つの頂点に書かれた数字の和を求めなさい。

(2)A+Dの和を求めなさい。

(3)A,B,C,Dの4つにあてはまる数は2組あります。

   その2組を答えなさい。

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解答 

 (1)下の図1のように、正方形あ、い、え、お に注目すると、

Pic_1035a

4つの正方形の16個の頂点には、それぞれ違った数字が

書かれていて、その和は1から16までの和と等しく、

(1+16)×16÷2=136 なので、1つの正方形に書かれた

数字の和は、136÷4=34 となります。

 

 (2) (1)より、1つの正方形の頂点に書かれた数字の和が

34なので、

 正方形あ において、A+B=34-(5+3)=26 ・・・①

 正方形い において、C+D=34-(1+6)=27 ・・・②

 正方形う において、B+C=34-(2+4)=28 ・・・③

となります。

 ①+②から、A+B+C+D=26+27=53 で、

 ③より、B+C=28 なので、A+D=53-28=25 となります。

  

 (3)1~8までは図に書かれているので、残りの9~16の8個の

うち4個がA,B,C,Dにあてはまります。(2)より、

 A+B=26 ・・・① 

 C+D=27 ・・・②

 B+C=28 ・・・③

 A+D=25 ・・・④

①と④より、BはDより1大きいことがわかるので、B=D+1

②と④より、CはAより2大きいことがわかるので、C=A+2

と表すことができます。

 

ここで、BとCに注目すると、B+C=28と、9~16の条件から、

 (B,C)=(12,16)、(13,15)、(14,14)

        (15,13)、(16,12) の4つに限られます。

B=D+1、C=A+2

なので、それぞれのときAとDは、

 (A,B,C,D)=(14,12,16,11)、(13,13,15,12)

           (11,15,13,14)、(10,16,12,15) 

となり、3組に限られます。

 

 問題文に2組とあるので、このうち1つは誤りです。

残る情報は、正方形え、お から、E,F,G,Hについて、

E+F=34-(2+8)=24

G+H=34-(4+7)=23 となります。

 

(A,B,C,D)=(14,12,16,11)のとき、

(E,F,G,H)=(9,15,10,13)などが考えられます。

 

(A,B,C,D)=(11,15,13,14)のとき、

(E,F,G,H)の条件を満たすことはできません。

 

(A,B,C,D)=(10,16,12,15)のとき、

(E,F,G,H)=(11,13,14,9)などが考えられます。

 

よって、(A,B,C,D)は

14,12,16,11)と(10,16,12,15)の2組です。

 

 

 高槻中学の過去問題集は → こちら

 高槻中学の他の問題は → こちら

 

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