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2010年2月 4日 (木)

場合の数 並べ方 第23問 図形 (久留米大学附設中学 2009年(平成21年度) 受験問題 算数)

 

問題 (久留米大学附設中学 2009年 受験問題 算数)

     難易度★★★★

 

 たて1cm、よこ1cmの正方形を①、たて2cm、よこ1cmの

長方形を②、たて3cm、よこ1cmの長方形を③、たて4cm、

よこ1cmの長方形を④、たて5cm、よこ1cmの長方形を⑤

として、①から⑤の図形の下をそろえて並べます。

 たとえば、下の図は①、④、②、③の順に並んでいます。

         Pic_0979q

 このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)①、②、③を1個ずつ並べてます。この図形のうち周の長さが

もっとも長いものともっとも短いものの長さと、それぞれ何通りの

図形の並べ方があるか答えなさい。

 

(2)①、②、③、④を1個ずつ並べます。この図形のうち周の

長さがもっとも長い図形は何通り作ることができるか答えなさい。

また、そのうち②、③、④が一番左にくる図形を1つずつ描き

なさい。

 

(3)①、②、③、④、⑤を1個ずつ並べます。この図形のうち

周の長さがもっとも長いものともっとも短いものの長さと、

それぞれ何通りの並べ方があるか答えなさい。

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解答

 (1)①、②、③の3つの図形の並べ方は

(①、②、③)、(①、③、②)、(②、①、③)、(②、③、①)、

(③、①、②)、(③、②、①) の6通り (3×2×1) あります。

 

並べた図形の周の長さは、図1のように①、②、③の周の長さから

接着する辺の長さを除けば求められます。 

Pic_0980a

周の長さについて簡易に調べるため、図1の右図のように

接着辺の個数を示すと、①がまん中のとき、接着する辺は

1+1=2です。

  

②、③がまん中のときは下の図2のようになり、

Pic_0981a

共に接着辺の数は1+2=3 となるので、どちらも周の長さが

等しいということになり、①、②、③を並べるときは、周の長さは

2通りになります。

 

長い場合は2通りあり、

 長さは1×4+(1+2)×2+(1+3)×2-(1+1)×2=14cm

短い場合は4通りあり、

 長さは18-(1+2)×2=12cm  となります。

 

 

 (2) 図1、図2の関係から、接着辺の長さが短いほど周の長さは

長くなる ということがわかります。

 このことから、①、②、③、④を並べるときに周の長さがもっとも

長くなるのは、下の図3(e)、(f)のときであるとわかります。

Pic_0982a

図3のように①を並べる場所は決まり(e,f の2通り)、

②を並べる場所は、接着辺の長さが2の左側か右側の

どちらか(2通り)で、③、④は残りの2か所のどちらでも

よい(2通り)ので、合計すると、2×2×2=8通り です。

 

②、③、④が一番左にくるように並べた例は、下の図4になります。

 Pic_0983a

 

 (3)①、②、③、④、⑤の周の長さの合計は、

1×4+(1+2)×2+(1+3)×2+(1+4)×2+(1+5)×2

=40cm です。

 

まず(2)と同様に考えると、周の長さがもっとも長くなるのは、

下の図5(g)、(h)のように①と②が2番目、4番目に並んでいる

ときであるとわかります。

     Pic_0984a

 (g)、(h)のとき、残りの3か所には③、④、⑤がどんな順に

並んでもよいので、3×2×1=6通り の並び方があり、(g)、(h)の

2通り あるので、合計6×2=12通り の並べ方があります。

 

長さは、40-(1+1+2+2)×2=28cm です。

 

 次に、もっとも短くなるときは、接着辺の長さが長いほど、

周の長さは短くなるので、たとえば下の図6のとき、

       Pic_0985a

 周の長さがもっとも短くなり、

長さは 40-(1+2+3+4)×2=20cm となります。

 

問題はこれが何通りの並べ方があるのか、ということになります。

 

まず、接着辺の長さが「4」があるので、⑤と④がとなり合って

いる必要があり⑤+④のカタマリを1つのものとして考える

ことができます。なお、どちらが右でどちらが左かで2通り あります。

 

次に、①は一番左か一番右になければ、接着辺の長さが「1」が

2つできてしまいます。よって①の位置は図7のように2通りです。

Pic_0986a

②、③、④、⑤の並べ方は、④と⑤を1つとして考えると

下の図8のように6通りありますが、

Pic_0987a

( i )の場合(②がまん中のとき)は、接着辺の長さが短くなるので、

( j )と( k )の4通りの並べ方のとき、周の長さがもっとも短くなり、

④と⑤の並べ方が2通り、①の並べ方が2通りあるので、

合計4×2×2=16通り となります。

 

 

 【関連問題

    【 聖光学院中学 2007年 】

 

 久留米大学附設中学の過去問題集は → こちら

 久留米大学附設中学の他の問題は → こちら

 

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