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2010年2月12日 (金)

積み木の問題 第8問 (東大寺学園中学 2009年(平成21年度) 受験問題 算数)

 

問題 (東大寺学園中学 2009年 受験問題 算数) 

     難易度★★★★★

 

 1辺1cmの立方体を27個用いて図1の立方体を作りました。

         Pic_1016q

この立方体から次のようにして一部分を取り除きます。

 ①最初に図1で見えている上の面、右の面、手前の面から

   それぞれ1個ずつ1辺が1cmの立方体を選びます。

 ②次に、①で選んだ正方形を1つの面とするような直方体で、

   体積が3c㎥ であるものをそれぞれ考えます。

 ③最後に、それらの直方体を取り除きます。

たとえば、下の図2のような取り除き方があります。

Pic_1017q

このとき、次の問に答えなさい。

 (1)図3で色の付いた2個の正方形のほかに、手前の面から

    もう1個の正方形を選び、一部分を取り除いた後の立体の

    体積が最大となるようにするには、どの正方形を選べば

    よいか図示しなさい。また、そのときの体積を求めなさい。

         Pic_1018q

 (2)図4について次の問に答えなさい。

   (ア)色の付いた2個の正方形に対し、図2の②と同じように

      直方体を考えます。2つの直方体を取り除いたあとの

      立体の表面積を求めなさい。 

   (イ)色の付いた2個の正方形のほかに、手前の面からもう

      1個の正方形を選び、図2のようにすべての直方体を

      取り除いたあとの立体の表面積が最大となるようにします。

      どの正方形を選べばよいか図4に図示し、そのときの

      立体の表面積を求めなさい。

         Pic_1019q

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解答

 (1)図3の色のついた正方形から直方体を作ると、下の図5の

ようになります。

Pic_1020a

残った立体の体積を最大にするので、取り除く直方体の体積は

最小にしなければなりません。図5からわかるように、すでに

取り除く2つの直方体は、手前から見ると重なる部分があり、

その部分を含む直方体を作るには、図6の正方形を選べば

よいことになります。(新たに取り除く立方体が1個で済む)

         Pic_1021a

このとき、体積は、27-(3+3+1)=20c㎥ となります。

 

 

 (2)(ア)下の図7のように、図4の図形を左側から見て

直方体を取り除いた図を考えるとわかりやすくなります。

Pic_1022a_2

図7から表面積を求めると、 図8のように、左右から見ると9個の

正方形、上下、前後から見ると8個の正方形が見え、さらに図7の

青い正方形2個が左右に隠れています。なお、図4を手前から見る

のは、図7のから見たものになります。

       Pic_1023a

よって、この立体の表面積は、

9×2+8×4+2×2=54c㎡ となります。

 

 

 (イ)図7に対し、右面の①から⑨について、表面積がどのように

変わるか調べます。

Pic_1024a

①の正方形を選ぶと、下の図10のようになり、

     Pic_1025a

図10の(A)図の赤い面(立方体の上面と前面)は、(C)図の

赤い面(立方体の下面と後面)として残り、(B)図の青い面が

取り除かれるので、①を選ぶと表面積は、合計4c㎡ 減ることに

なります。

 

図9で②を選んでも、表面積は4c㎡ 減ります。

図9で③を選ぶと、①、②より立方体が1つ少なく、表面積は2c㎡

減ります。

 

ここまで、①、②、③は、上面から、たてに取り除かれた直方体に

沿って調べました。表面積が大きくなるためには、取り除かれる

直方体によって、多くの立方体(できれば3個)が取り除かれれば

残った立体の表面積は大きくなるものと想像できます。

 

図4の右面から取り除かれる直方体にそって、図9の④、⑤を

選んだ場合を調べると、図7の下から見た図の図11から、

 Pic_1026a

 ④では、赤い表面積が5c㎡から5c㎡ と変化なし。

 ⑤では、青い表面積が6c㎡から4c㎡ となり2c㎡ 減ります。

  

ここまで①から⑤までは、取り除く立方体の個数が1個から2個

なので、実際の試験時間内では調べる必要はないでしょう。

 

調べる必要があるのは、次の⑥から⑨までです。

 

 図9の⑥の正方形を選ぶと、左右から見える正方形の面が

取り除かれ、上面と後面から見える面は残るので、表面積は2c㎡

減ります。

 

図9の⑦の正方形を選ぶとき作られる直方体の表面積は6c㎡で、

直方体を取り除いた後の表面積は8c㎡ となるので、

2c㎡ 増えます。

図9の⑧の正方形を選ぶとき作られる直方体の表面積は6c㎡で、

直方体を取り除いた後の表面積は8c㎡ となるので、やはり

2c㎡ 増えます。

 

図9の⑨の正方形を選ぶとき作られる直方体の表面積は4c㎡で、

直方体を取り除いた後の表面積は、下の図12のように、右から

4+3+3=10c㎡ となるので、表面積は6c㎡ 増えて、

54+6=60c㎡ となります。 

     Pic_1027a_2

よって、選ぶ正方形はまん中の正方形で、そのときの表面積は

60c㎡ となります。

 

 直感的に、まん中をくりぬけば表面積が最も増えるのだろう、と

感じ取れればよいと思います。

 

 

 東大寺学園中学の過去問題集は → こちら

 東大寺学園中学の他の問題は → こちら

 

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