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2010年2月25日 (木)

最短ルート 第2問 (渋谷教育学園渋谷中学 2007年(平成19年度) 受験問題 算数)

 

問題 (渋谷教育学園渋谷中学 2007年 受験問題 算数)

     難易度★★★★

 

すべての面が1辺3cmの正三角形でできた三角すいA-BCD

があります。

Pic_1096q

辺ABのまん中の点をEとして、点E にひもを付けて、三角すいの

どの面も通るようにひもを巻きつけます。 

 

 (1)ひもの長さを最も短くすると何cmなりますか。

 (2) (1)のひものところで三角すいを切断すると、切り口は

    どのような形になりますか。また、その面積を求めなさい。

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解答

 (1)三角すいの展開図は下の図1のようになり、

Pic_1097a_2

図1の赤線のように、展開図上を一直線に通る線上にひもを巻くと

最短になります。青線のように折れ線になると、長くなります。

 

赤線の長さ=3÷2×4=6cm より、最短は6cmの長さです。

 

 (2)切り口の四角形は、4つの辺の長さがすべて等しいので、

ひし形、もしくは正方形ということがわかります。

 

ひし形と正方形の違いは、下の図2のように

 Pic_1098a

対角線の長さが等しい → 正方形

対角線の長さが異なる → ひし形  となります。

 

対角線の長さを調べるために、下の図3のように

三角形ECDと三角形HCAを比べてみると、

Pic_1099a

2つの三角形は合同な二等辺三角形で、対角線EG、HFは

ともに二等辺三角形の角の二等分線で長さが等しくなるので、

切り口は正方形であることがわかります。

 

よって、切り口の正方形の1辺の長さ=3÷2=1.5cm より、

切り口の面積=1.5×1.5=2.25c㎡ です。

  

 

関連問題

  最短ルート (六甲中学 2008年)

  最短ルート (慶應義塾中等部 2002年)

  最短ルート (巣鴨中学 2002年)

 

 渋谷教育学園渋谷中学の過去問題集は → こちら

 渋谷教育学園渋谷中学の他の問題は → こちら

 

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