« 場合の数 並べ方 第24問 (青雲中学 2009年(平成21年度) 受験問題 算数) | トップページ | 点の移動 第6問 (ラ・サール中学 2000年(平成12年度) 受験問題 算数) »

2010年2月22日 (月)

反射 第2問 (駒場東邦中学 2007年(平成19年度) 受験問題 算数)

 

問題 (駒場東邦中学 2007年 受験問題 算数) 難易度★★★★

 

横80cm、たて18cmの長方形の板があり、その横の部分に

図のように反射板を取り付けます。

 辺AD上には、AE=DF=4cm となるように2点E,F をとり、

辺BC上には、BG=GH=HC=6cmとなるように2点G,Hを

とります。 

Pic_1071q_2

いま、2点E,Fの間(点E,F上も含む)から辺ABか辺CDの

いずれかの反射板で1回だけ反射するように光を発射して、

光が2点G,Hの間(点G,H上も含む)を通るようにします。

 

(1)点E から光を発射したとき、光を反射させる点の位置は

辺AB上でAから見て何cmから何cmの間になりますか。

 

(2)光を反射させる点をいろいろ変えたとき、光が通るのは

長方形ABCDのどの部分になるか図に示しなさい。

 

(3) (2)で求めた部分の面積を答えなさい。

-----------------------------------------------

-----------------------------------------------

解答

 (1)点E から出た光がどのように進むかを考えます。

 

光は辺AB上で反射するので、辺ABに対して点G,Hを反対側に

点G’、H’をとると、下の図1のように、EG’とEH’の間が光の通る

部分になります。

Pic_1072a_2

EH’,EG’と辺ABの交点を点P,Qとすると、

三角形QBG と 三角形QBG’ は合同で、三角形QAE と相似で、

相似比は、6:4=3:2

三角形PBH と 三角形PBH’ は合同で、三角形PAE と相似で、

相似比は、12:4=3:1

 

よって、

AQ=80÷(3+2)×2=32cm

AP=80÷(3+1)×1=20cm と求めることができ、

光が反射するPQ間は、Aから見て20cmから32cmの間です。

 

 (2)まず、(1)と同様にして点Fから光を発射したときに

光が反射する位置を求めます。

 (1)と同様に、下の図2のようになり、

Pic_1073a

点Fから発射された光は、点RとSの間で反射することで、点GとHの

間を通ります。

 点Rは点QよりAから遠く、点Sは点Aから56cmの位置で、

光の通る部分は、図2の黄色い部分となります。

 

 光源の移動をイメージすると、下の図3のようにPからSで

反射することがわかります。(光がEPH’→FRH’→FSG’へ移動)

Pic_1074a

辺CD側で反射するものも同様に求めることができ、

光が通る部分は、下の図4の黄色い部分となります。

Pic_1075a

(3)図4は上下対称なので、半分だけ考えます。

下の図5のように、辺AD,BCのまん中の点をM,Nとして、

FSとMNの交点を点X、HPとMNの交点を点Y、FSとHPの交点を

点Zとすると、

Pic_1076a

三角形FMXと三角形FASが相似で、FM=5cm、FA=14cm、

AS=56cmより、MX=56÷14×5=20cm

三角形HNYと三角形HBPが相似で、HN=3cm、HB=12cm、

BP=60cmより、NY=60÷12×3=15cm

となるので、XY=80-(20+15)=45cm とわかります。

 

次に、三角形XYZと三角形SPZが相似で、MA=9cmより、

XYを底辺としたときの三角形XYZの高さは、

9÷(36+45)×45=5cm とわかります。

 

よって、黄色い部分の面積は、

{長方形ABNM-(三角形AEP+三角形BGS+三角形XYZ)}×2

={80×9-(20×4÷2+24×6÷2+45×5÷2)}×2

=80×18-(80+144+225)=1440-449

991c㎡ となります。 

 

 

 駒場東邦中学の過去問題集は → こちら

 駒場東邦中学の他の問題は → こちら 

 

|

« 場合の数 並べ方 第24問 (青雲中学 2009年(平成21年度) 受験問題 算数) | トップページ | 点の移動 第6問 (ラ・サール中学 2000年(平成12年度) 受験問題 算数) »

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




トラックバック


この記事へのトラックバック一覧です: 反射 第2問 (駒場東邦中学 2007年(平成19年度) 受験問題 算数):

« 場合の数 並べ方 第24問 (青雲中学 2009年(平成21年度) 受験問題 算数) | トップページ | 点の移動 第6問 (ラ・サール中学 2000年(平成12年度) 受験問題 算数) »