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2010年2月 1日 (月)

場合の数 並べ方 第21問 図形 (聖光学院中学 2007年(平成19年度) 受験問題 算数)

 

問題 (聖光学院中学 2007年 受験問題 算数) 難易度★★★★

    Pic_0963q

 底面の半径が4cmで、高さ3cmの円柱を4等分した図のような

立体Aがたくさんあります。この立体を次の規則に従って積み重ね

ていきます。

 規則① 立体Aをたてに積み重ねるときは、扇形の面がぴったりと

       合うように重なる。

 規則② 立体Aを横に並べるときは、長方形の面がぴったりと合う

       ように並べる。

このとき、次の問に答えなさい。円周率は3.14とします。

 

 (1)立体Aを3個用いるとき、できる立体のうち、表面積が

    もっとも大きいものと、もっとも小さいものの表面積を

    答えなさい。

 

 (2)立体Aを4個用いるとき、できる立体のうち、表面積が

    もっとも大きいものと、もっとも小さいものの表面積を

    答えなさい。

 

 (3)立体Aを5個用いるとき、できる立体のうち、表面積が

    もっとも小さいものの表面積を求めなさい。

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解答

 (1)立体Aについて、扇形の部分の面積をA、長方形の面積をB、

円柱の側面積にあたる部分の面積をCとすると、

 立体Aの表面積Sは、S=A×2+B×2+C と表すことが

できます。なお、

 A=4×4×3.14×90/360=4×3.14=12.56 c㎡

 B=3×4=12 c㎡

 C=4×2×3.14×90/360 ×3=6×3.14=18.84 c㎡

となります。

 

立体Aを3個用いると、図1のように、

 ①3個をたてに積み重ねる

 ②2個をたてに積み重ね、1個を並べる

 ③3個とも並べる  

の3通りが考えられます。 

 Pic_0964a

①のとき、全体の表面積は、

  S×3-A×4

②のとき、全体の表面積は、

  S×3-A×2+B×2

③のとき、全体の表面積は、

  S×3-B×4

 

A=12.56、B=12 より、この中でもっとも表面積が大きいのは

③のときで、もっとも表面積が小さいのは①のときとなります。

 

③のとき、表面積は、A=4×3.14、B=12、C=6×3.14より、

 (A×2+B×2+C)×3-A×4=A×2+B×6+C×3

=26×3.14+72

153.64 c㎡

 

①のとき、表面積は、

 A×6+B×2+C×3=42×3.14+24=155.88 c㎡

となります。

 

 (2) (1)より、表面積がもっとも小さくなるのは、立体Aをすべて

たてに積み重ねたときで、もっとも大きくなるのは、立体Aをすべて

横に並べたときであると目星をつけます。 

 それぞれ下の図2の①、②の場合です。

Pic_0965a_2

図2の①の表面積は、S×4-A×6

=(A×2+B×2+C)×4-A×6

=A×2+B×8+C×4

=32×3.14+96=196.48 c㎡

 

図2の②の表面積は、S×4-B×6

=(A×2+B×2+C)×4-B×6

=A×8+B×2+C×4

=56×3.14+24

199.84 c㎡  

 

ここで、図2の①では接着面が3面ありますが、

下の図3の③と④の形にすると、接着面が4面になることから、

こちらの方が表面積が小さくなると想像できます。 

Pic_0966a_2

図3の③の表面積は、S×4-B×8

図3の④の表面積は、S×4-(A×4+B×4) となるので、

図3の④の表面積の方が小さくなります。

 

S×4-(A×4+B×4)

=(A×2+B×2+C)×4-(A×4+B×4)

=A×4+B×4+C×4

=40×3.14+48=173.6 c㎡ となり、

 

立体Aを4個用いたとき、もっとも大きくなる表面積は

199.84c㎡ 、もっとも小さくなる表面積は173.6c㎡ です。

 

 (3)接着面を増やすと表面積が小さくなるので、

図3の④に立体Aを1個接着すれば、立体Aを5個用いたときの

表面積はもっとも小さくなり、下の図4のときで、

        Pic_0967a

この表面積は、S×5-(A×6+B×4)

=(A×2+B×2+C)×5-(A×6+B×4)

=A×4+B×6+C×5

=46×3.14+72=216.44c㎡ となります。

  

 

 【関連問題】 

   久留米大学附設中学 2009年

 

 聖光学院中学の過去問題集は → こちら

 聖光学院中学の他の問題は → こちら

 

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