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2010年2月 8日 (月)

平面図形の面積 第75問 (フェリス女学院中学 2006年(平成18年度) 受験問題 算数)

 

問題 (フェリス女学院中学 2006年 受験問題 算数)

     難易度★★★★

 

Pic_0999a_2

 上の図は、3つの大きさの異なる正方形と1つの円を重ねた

ものです。それぞれの正方形の対角線の交点は円の中心と

重なります。このとき次の問に答えなさい。

 

 (1)青い正方形の面積を求めなさい。

 (2)円の面積を求めなさい。

 (3)緑の部分の面積を求めなさい。

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解答

 (1) 青い正方形と、その1つ外側の正方形を見てみると、

下の図1のように、青い正方形は、外側に合同な4つの黄色い

直角三角形に囲まれていることがわかります。

    Pic_1000a

よって、青い正方形の面積は、外側の1辺6cmの正方形から

黄色い直角三角形4個の面積を除けばよく、

 6×6-1×5÷2×4=26c㎡ となります。

 

 (2)円と青い正方形に注目すると、下の図2のように

円の直径と青い正方形の対角線は等しいので、  

  Pic_1001a

(1)より、正方形の対角線×正方形の対角線÷2=26 で、

これは、円の直径×円の直径÷2=26 ということになり、

(円の半径×2)×(円の半径×2)÷2=26 から、

円の半径×円の半径=13 とわかるので、

円の面積=円の半径×円の半径×3.14=13×3.14

       =40.82 c㎡ となります。

 

 (3)下の図3のように、青い正方形の対角線によって4つの

部分に分けることができ、それぞれ同じ面積です。

 このうち1つの部分を図3のように六角形OABCDE とします。

Pic_1002a_2

三角形CDE は(1)より直角二等辺三角形なので、

角DCE=45度で、対頂角により角ACB=45度となるので、

三角形ABC も直角二等辺三角形です。

 

 求める緑の部分の面積は、下の図4のように、

三角形ABC+三角形ADE+三角形OAE-扇形OAE

として求めることができ、

Pic_1003a

三角形ABCの面積は、

 AC=4cm なので、4×4÷2÷2=4c㎡

三角形ADEの面積は、1×5÷2=2.5c㎡

三角形OAEの面積は、

 青い正方形の4分の1で、26÷4=6.5c㎡

扇形OAEの面積は、 円の面積の4分の1で、

 40.82÷4 ← あとで4倍するのでそのまま

 

よって、緑の部分の面積の合計は、

(4+2.5+6.5-40.82÷4)×4=13×4-40.82

11.18 c㎡ となります。

 

 

 フェリス女学院中学の過去問題集は → こちら

 フェリス女学院中学の他の問題は → こちら

 

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