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2010年2月 3日 (水)

場合の数 並べ方 第22問 すごろく (巣鴨中学 2005年(平成17年度) 受験問題 算数)

 

問題 (巣鴨中学 2005年 受験問題 算数) 難易度★★★★

Pic_0974q

 図のマス目を使い、サイコロを1つ振って出た目の数だけ

コマを進め、コマがゴールにちょうど着いたら終わりとします。

ただし、「11」のマス目に着いた場合はスタートに戻ります。

ゴールまでのマス目の数より大きい目が出た場合は、

余った目の数をもどることにします。たとえば、「9」のマス目

にいて、「5」の目が出た場合は、9→10→11→ゴール→11→10

と進み、「10」のマス目に着き、次に「2」の目が出たらゴールです。

はじめにコマをスタートの位置に置くとき、次の問に答えなさい。

 

 (1)サイコロを回ふった後、コマが「」のマス目にいるような

    サイコロの目の出方は何通りありますか。

 (2)サイコロを回ふった後、コマがゴールに着くような

    サイコロの目の出方は何通りありますか。

 (3)サイコロを回ふった後、コマが「」のマス目にいるような

    サイコロの目の出方は何通りありますか。

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解答

 (1)サイコロを2回ふると、最大で12ですので、「9」のマス目に

いるのは、(3,6)、(4,5)、(5,4)、(6,3)のようにサイコロ

の目が出ればよく、4通りです。

 

 (2)まず、「11」のマス目に止まってスタートに戻ったかどうか

調べると、「11」のマス目までは2回サイコロをふる必要があり、

3回目のサイコロをふっても「6」までしか進めないので、ゴールに

着くことができません。

 

 また、折り返す場合も、最低3回サイコロをふらないといけない

ので、3回目でゴールに着けません。

 

 よって、3回のサイコロの目の合計が「12」となる目の組み合わせ

を調べればよいことになります。

 ただし、「11」に止まってはいけないということです。

 

 3回目のサイコロの目が「1」のとき、2回目までに「11」まで

進まなければなりませんが、「11」には止まることができないので、

数えません。

 

 3回目のサイコロの目が「2」のとき、1回目と2回目の合計が

「10」となる組み合わせを調べればよく、(?、?、2)

 (4,6)、(5,5)、(6,4) の3通り があります。

 

 3回目のサイコロの目が「3」のとき、1回目と2回目の合計が

「9」となる組み合わせを調べればよく、(?、?、3)

(1)より4通り があります。

 

 3回目のサイコロの目が「4」のとき、1回目と2回目の合計が

「8」となる組み合わせを調べればよく、(?、?、4)

(2,6)、(3,5)、(4,4)、(5、3)、(6,2) の5通り です。

 

3回目のサイコロの目が「5」のとき、1回目と2回目の合計が

「7」となる組み合わせを調べればよく、(?、?、5)

(1,6)~(6,1)の6通り です。 

 

3回目のサイコロの目が「6」のとき、1回目と2回目の合計が

「6」となる組み合わせを調べればよく、(?、?、6)

(1,5)~(5,1)の5通り です。

 

よって、3回サイコロをふってゴールするようはサイコロの

目の出方は、3+4+5+6+5=23通り となります。

 

 

 (3)4回サイコロをふって「3」のマス目にいるには、明らかに

「11」の目に止まってスタートにもどらなければなりません。

 

「11」の目に着くには、最低2回サイコロをふる必要があり、

4回目のサイコロをふると「3」の目に着くことから、下の図の

ようなパターンA とパターンB のサイコロの目の出方が

考えられます。

Pic_0975a

■パターンA : 3回サイコロをふって「11」につき、

          4回目に「3」の目が出るとき

■パターンB : 2回サイコロをふって「11」につき、

          3回目と4回目で「3」のマスに着くとき

        

パターンAのとき

 4回目の目は「3」と決まっているので、3回の目の和が「11」と

 なるような組み合わせを調べます。

 

3回目のサイコロの目について、(2)と同様に6から1まで調べ、

(1,4,6)、(2,3,6)、(3,2,6)、(4,1,6) 4通り

(1,5,5)~(5,1,5) 5通り

(1,6,4)~(6,1,4) 6通り

(2,6,3)~(6,2,3) 5通り

(3,6,2)~(6,3,2) 4通り

(4,6,1)、(5,5,1)、(6,4,1) 3通り

以上の 4+5+6+5+4+3=27通り があります。

 

次に、ゴールで折り返して「11」に着く場合は、

3回のサイコロの目の和が「13」になり、2回のサイコロの目の

和が「11」になる場合を除けばよく(この場合は3回目が2)

(1,6,6)~(6,1,6) 6通り

(2,6,5)~(6,2,5) 5通り

(3,6,4)~(6,3,4) 4通り

(4,6,3)~(6,4,3) 3通り

5,6,2)、(6,5,2) 0通り

6,6,1) 2回でゴールしてしまうので不適。

以上の6+5+4+3=18通り があります。

 

次に、パターンBのとき

 2回のサイコロの目の和が「11」となるのは

(5,6)、(6,5)の2通り

 3,4回目のサイコロの目の和が「3」となるのは

(1,2)、(2,1)の2通り なので、

 2×2=4通り となります。

(5,6,2,1)、(5,6,1,2)、(6,5,2,1)、(6,5,1,2)

 

よって、サイコロを4回ふった後、コマが「3」のマス目にいるような

サイコロの目の出方は、27+18+4=49通り となります。

 

 

 巣鴨中学の過去問題集は → こちら

 巣鴨中学の他の問題は → こちら

 

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