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2010年2月26日 (金)

場合の数 並べ方 第25問 図形 (灘中学、共立女子中学 2005年 受験問題 算数)

 

問題 (灘中学、共立女子中学 2005年 受験問題 算数)

     難易度★★★

 

 (1)1辺の長さが1cmの立方体が72個あります。これらを全部

くっつけて1つの直方体を作るとき、異なる形の直方体は何個

できますか。

                                  (灘中学)

 (2)1辺2cmの立方体が18個あり、すべての立方体を用いて

直方体を作ります。作ることのできる直方体のうち、表面積が

最も小さくなるものの表面積を答えなさい。

                        (共立女子中学 2005年)

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解答

 (1)直方体を作るとき、その体積は【たて×よこ×高さ】で

求めることができます。

 

1つの立方体の体積が1c㎥ なので、72個を用いて作られる

直方体の体積は72c㎥ となります。

 

たて、よこ、高さに用いる立方体の個数によって直方体の形は

変化します。

 

72=8×9=2×2×2×3×3 と素因数分解できるので、

72=1×1×72

  =1×2×36

  =1×3×24

  =1×4×18

  =1×6×12

  =1×8×9

  =1×9×8

  =2×1×36

  =2×2×18

  =2×3×12

  =2×4×9

  =2×6×6

  =2×9×4

  =3×3×8

  =3×4×6

  =4×6×3

と表すことができ、12個の異なる直方体を作ることができます。

  

 (2) (1)と同様に考えます。表面積が最も小さいときを探すとき、

立方体の1辺の長さが2cmですが、まず1cmの立方体だと考え

調べます。

 

18個の立方体を用いて直方体を

作るとき、何通りの直方体ができるのか調べると、

18=2×3×3 と素因数分解できるので、

18=1×1×18 ・・・①

  =1×2×9  ・・・②

  =1×3×6  ・・・③

  =1×6×3

  =2×3×3  ・・・④

  =2×9×1

と、以上のように4通りの直方体を作ることができます。

①~④のうち、表面積が最も小さいものはどれか、ということです。

 

直方体の表面積は、たて=A、よこ=B、高さ=C とすると、

A×B×2+B×C×2+C×A×2=(A×B+B×C+C×A)×2

となります。

 

①のとき、(1×1+1×18+18×1)×2=74

②のとき、(1×2+2×9+9×1)×2=58

③のとき、(1×3+3×6+6×1)×2=54

④のとき、(2×3+3×3+3×2)×2=42

 

よって、下の図のような④のときが表面積が最も小さくなります。

Pic_1102a

このとき、立体の表面積は、

 (4×6+6×6+6×4)×2=168c㎡

です。

 

 

 灘中学の過去問題集は → こちら

 共立女子中学の過去問題集は → こちら

  

 灘中学の他の問題は → こちら

 共立女子中学の他の問題は → こちら

 

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