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2010年1月 7日 (木)

速さ 第15問 (神戸女学院中学 2009年(平成21年度) 入試問題 算数 改題)

 

問題 (神戸女学院中学 2009年 入試問題 算数 改題(3)追加)

     難易度★★★★★

 

 81mはなれた地点P,Qがあり、兄弟がPQ間を往復します。

毎分100mで兄が、毎分20mで弟が同時に地点Pを出発し、

弟は兄と出会うと向きを反対にして進むとき、次の問に答えなさい。

       Pic_0865q_2

 (1)2回目に2人が出会うのは、地点Pから何mのところですか。

 (2)出発して8分間に2人が出会うのは何回ありますか。

 (3)弟は地点Qに着くことができるかどうか説明しなさい。

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解答

 (1)まず、最初に2人が出会うのは、地点Pから

81×2÷(100+20)×20=27m のところです。

      

ここで弟は進む向きを変え、地点Pの方向へ向かうので、

       Pic_0866a

2回目に2人が出会うのは、地点Pから27mの地点から

27×2÷(100+20)×20=9m のところになります。

 

この地点は、地点Pから 27-9=18m のところです。

 

 (2)8分間に兄は8×100=800m進みます。

この間に何往復するかというと、

800÷(81×2)=4あまり152m より、

4往復と、152m進んだところまで、すなわち、下の図0のように

5往復してP地点から10m手前のところまで進むことになります。

      Pic_0867a_2  

兄と弟の速度の比は、100:20=5:1なので、下の図1より

兄と弟が出会う場所は出発地点から1/3 進んだところになります。

    Pic_0867a

PQ間に限らず、出会ったところから次に出会うところまでは、

出発地点から1/3のところになります。

  

1回目に出会う地点は、地点Pから27mでした。

下の図2のように、地点PからA(m)の地点(ア)で兄弟が出会った

とすると、次に兄弟が出会う地点(イ)は、地点PからA×2/3(m)

のところになります。

Pic_0869a

さらに、その次に兄弟が出会う地点(ウ)は、地点(イ)からX(m)と

すると、X=(81-A×2/3)÷3(m) なので、

地点(ウ)は、地点Pから、

A×2/3+(81-A×2/3)÷3 = 27+A×2/9 (m)

の場所となります。

 

すなわち、地点(ウ)はどんな場合も地点Pから27m以上

はなれた場所です。

  (仮に地点(ア)がQ地点に限りなく近くても、地点(ウ)は、

   地点Pから 27+81×2/9=45m のところになります。)

 

 8分後に兄がいる地点は地点Pから10mの場所なので、

ここは地点Pから27mの地点よりも地点Pに近いので、

8分間に兄弟が出会う回数は、

5(往復)×2-1(最初の出発時はふくまない)=9回 です。

 

 (3)弟が地点Qに着くとすると、図2の地点(ウ)が地点Qに

あてはまります。(地点(イ)が地点Qだとすると、地点(ア)の

2/3が地点(イ)なので、地点(ア)は81mを超えてしまい、不適。)

地点(ウ)の2回前の地点(ア)は、

27+A×2/9=81より、A=243(m)と求められますが、

PQの長さより長いので、存在しません。

 

よって、弟が地点Qに着くことはありえません。

 

 

 神戸女学院中学部の過去問題集は → こちら

 神戸女学院中学の他の問題は → こちら

 

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