数の性質 第３１問 約数 （開智中学 2009年（平成21年度） 入試問題 算数）

問題　（開智中学　2009年　入試問題　算数）　難易度★★★★★

１から８までの整数を１つずつ用いて８けたの整数【ＡＢＣＤＥＦＧＨ】

を作りました。この８けたの整数は、次の条件を満たします。

　２けたの整数【ＡＢ】は、２で割り切れます。

　３けたの整数【ＡＢＣ】は、３で割り切れます。

　４けたの整数【ＡＢＣＤ】は、４で割り切れます。

　５けたの整数【ＡＢＣＤＥ】は、５で割り切れます。

　６けたの整数【ＡＢＣＤＥＦ】は、６で割り切れます。

　７けたの整数【ＡＢＣＤＥＦＧ】は、７で割り切れます。

　８けたの整数【ＡＢＣＤＥＦＧＨ】は、８で割り切れます。

このとき、次の問に答えなさい。

　（１）ＡからＨのうち、偶数はどれですか。

　（２）ＡからＨのうち、２，６は（１）で選んだうちのどれとどれですか。

　（３）３けたの整数が３で割り切れ、６けたの整数が６で割り切れる

　　　 ことを利用して、８けたの整数【ＡＢＣＤＥＦＧＨ】を答えなさい。

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解答

　（１）偶数は、２，４，６，８で割り切れたときの１の位である

Ｂ，Ｄ，Ｆ，Ｈ の４つです。

　（２）Ａ，Ｃ，Ｅ，Ｇ は奇数で、５けたの整数が５で割り切れるので

Ｅ ＝５ということはすぐわかると思います。

４で割り切れる整数は、下２けたが４の倍数です。

これは８の倍数にも当てはまります。　（→　こちらを参照）

すると、【ＣＤ】、【ＧＨ】について、

Ｃ，Ｇ には１，３，７

Ｄ，Ｈ には２，４，６，８ が入るので、ここから４の倍数を作ると

ＣＤ，ＧＨは、１２，１６，３２，３６，７２，７６ のどれかになります。

　ＣＤが１２のとき、ＧＨは３６か７６

　ＣＤが１６のとき、ＧＨは３２か７２

　ＣＤが３２のとき、ＧＨは１６か７６

　ＣＤが３６のとき、ＧＨは１２か７２

　ＣＤが７２のとき、ＧＨは１６か３６

　ＣＤが７６のとき、ＧＨは１２か３２

このように、２と６はＤかＨに入ります。

　（３）３けたの整数【ＡＢＣ】が３で割り切れ、

　　　 ６けたの整数【ＡＢＣＤＥＦ】が６で割り切れるとき、

【ＡＢＣＤＥＦ】は３の倍数で、【ＡＢＣ】が３で割り切れるなら、

【ＡＢＣＤＥＦ】の残った部分【ＤＥＦ】が３で割り切れることになります。

いま、Ｄは２または６、Ｅ＝５、Ｆは４か８ なので、

【ＤＥＦ】が３の倍数となるように作ってみると、

　２５４・・・×

　２５８・・・○　

　６５４・・・○

　６５８・・・×　となります。　３の倍数の判断は　→　こちら

【ＤＥＦ】＝２５８のとき、【ＡＢＣＤＥＦＧＨ】＝【Ａ４Ｃ２５８Ｇ６】・・・①

【ＤＥＦ】＝６５４のとき、【ＡＢＣＤＥＦＧＨ】＝【Ａ８Ｃ６５４Ｇ２】・・・②　

８けたの整数【ＡＢＣＤＥＦＧＨ】が８で割り切れるとき、

下３けたの【ＦＧＨ】が８で割り切れます。　（→　こちらを参照）

【８Ｇ６】、【４Ｇ２】において、Ｇには１，３，７のどれかが入り、

これが８の倍数になるのは、【８１６】、【４３２】、【４７２】なので、

　①のとき、【Ａ４Ｃ２５８１６】

　②のとき、【Ａ８Ｃ６５４３２】・・・③　、【Ａ８Ｃ６５４７２】・・・④

となります。　

★①のとき、【Ａ４Ｃ】が３の倍数になるか確かめると、ＡとＣに

３と７が入り、３＋４＋７＝１４となり、３の倍数にはなりません。

★③のとき、【Ａ８Ｃ】が３の倍数になるか確かめると、ＡとＣに

１と７が入り、１＋７＋８＝１６となり、３の倍数にはなりません。

★④のとき、【Ａ８Ｃ】が３の倍数になるか確かめると、ＡとＣに

１と３が入り、１＋３＋８＝１２となり、３の倍数になります。

よって、Ｇ＝７で、ＡとＣには１か３が入るので、

【１８３６５４７２】または【３８１６５４７２】ということになります。

ここまで確認していないのは、７の倍数の確認です。

【１８３６５４７２】と【３８１６５４７２】について、７けた目までが

７で割り切れるかどうか確かめると、

【１８３６５４７】は７の倍数ではなく、【３８１６５４７】は７の倍数に

なるので、８けたの整数【ＡＢＣＤＥＦＧＨ】は、【３８１６５４７２】

ということになります。

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