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2010年1月18日 (月)

数の性質 第30問 (金蘭千里中学 2009年(平成21年度) 入試問題 算数)

 

問題 (金蘭千里中学 2009年 入試問題 算数) 難易度★★★★

 

2から100までの数字が書かれた99枚のカードが、上から順番に

2,3,4,5,・・・,99,100と置かれています。次の操作をくり返し

カードの枚数を減らしていきます。

 <操作>

     一番上にあるカードの数字の倍数のカードをすべて捨てる。

 

たとえば、1回目の操作では、2の倍数の数字の書かれた、

2,4,6,・・・,98,100 のカードをすべて捨てます。

2回目の操作では、一番上にあるカードには「3」が書かれて

いるので、残ったカードのうち、3の倍数のカードをすべて捨てます。

 

 このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)2回目の操作で捨てたカードは何枚ですか。

(2)4回目の操作で捨てたカードの数字をすべてたすと

   いくらですか。

(3)カードが残り18枚になるのは何回目の操作が終わったあと

   ですか。また、そのとき残っているカードの一番上にあるカード

   に書かれている数字を答えなさい。

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解答

 (1)2回目で捨てるカードは3の倍数で、奇数のものです。

2~100までに3の倍数は、100÷3=33あまり1より33個 あり、

奇数のものは、33÷2=16あまり1より、16+1=17個あります。

 

 (2)3回目の操作で捨てるカードは、1回目の操作で「4」の倍数の

カードはすべて捨てられているので、「5」の倍数のカードが捨てられ

ます。

 

 4回目の操作で捨てるカードは、2回目の操作で「6」の倍数の

カードはすべて捨てられているので、「7」の倍数のカードです。

7の倍数のうち、2,3,4,5,6の倍数のものは、すでに捨てられて

いるので、100までに100÷7=14あまり2より、14個の7の

倍数の数がありますが、7×1、7×7、7×11、7×13 の

4枚のカードが4回目の操作で捨てられます。

 

この合計は、7×(1+7+11+13)=7×32=224 です。

 

 (3)残り18枚になるまで操作をしてみると、

1回目の操作で、2の倍数の50枚が捨てられ、残り49枚、

2回目の操作で、3の倍数17枚が捨てられ、残り49-17=32枚、

3回目の操作で、5の倍数で2と3の倍数ではないものが捨てられ、

100÷5=20 なので、5×20までを調べると、

5×(1,5,7,11,13,17,19)の7枚が捨てられ、

32-7=25枚が残ります。

 

4回目の操作で、25-4=21枚となります。

5回目の操作では、8,9,10の倍数のカードは捨てられているので

11の倍数のものが捨てられます。100÷11=9あまり1より、

11×9までを調べると、1以外の11×2~9はすでに捨てられて

いるので、5回目の操作で捨てられるカードは、「11」の1枚で、

21-1=20枚が残ります。

 

6回目の操作では、12の倍数のカードはすでに捨てられているので

13の倍数のものが捨てられますが、「11」のときと同様に、

捨てられるのは「13」の1枚のみで、残りは20-1=19枚です。

 

100=10×10なので、この操作では、10以上になると

残っているのは素数の書かれたカードだけとなります。

 

7回目の操作では、13の次の素数の17の倍数のもので、

同じく「17」の1枚のみが捨てられ、残りは19-1=18枚

となります。

 

よって、カードが残り18枚となるのは、7回目の操作が終わった

あとで、残っているカードの一番上にあるのは、17の次の素数の

19」です。

  

 

 金蘭千里中学の過去問題集は → こちら  

 金蘭千里中学の他の問題は → こちら

 

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