規則性の問題 数の並び 第１７問 （学習院中等科 2009年（平成21年度） 入試問題 算数）

問題 （学習院中等科 2009年 入試問題 算数） 難易度★★★★

下の図のような式の列で、上から順に１＋２を第１式、３を第２式、

４＋５＋６を第３式というように呼ぶことにします。また、それぞれの

式で左から順に１番目の数、２番目の数、・・・というように呼ぶこと

にします。

　例えば、５は第３式の２番目の数、２３は第８式の３番目の数です。

このとき、次の問に答えなさい。

　（１）７５は第何式の何番目か答えなさい。

　（２）第１１式の数の和を答えなさい。

　（３）ある式の数の個数は偶数個で、この式の数の和は１５１８

　　　 でした。この式が第何式であるか答えなさい。

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解答

　（１）それぞれの式について、上から第１行、第２行、・・・と呼ぶと、

第１行の１番目は１、第２行の１番目は４、第３行の１番目は９、

第４行の１番目は１６、・・・のように、それぞれ

１×１、２×２、３×３、４×４…の順に並んでいることがわかります。

７５は、８×８＝６４と、９×９＝８１の間にあるので、

第８行目にあることがわかります。

また、式の左側、右側について、式にふくまれる数の個数は、

第１行：２と１、第２行：３と２、第３行：４と３、第４行：５と４、・・・

となっているので、第８行目は、９個と８個からできていることが

わかります。

よって、第８行目は、

６４＋６５＋・・・＋７２＝７３＋７４＋７５＋・・・＋８０

となっていて、７５は、８×２＝第１６式の３番目にあります。

　（２）第１１式は、第６行目にあるので、６×６＝３６から始まり、

７個の数がふくまれ、３６＋３７＋３８＋３９＋４０＋４１＋４２

＝３９×７（３９が平均の数なので）

＝２７３ となります。

　（３）１５１８＝３×５０６＝３×２×２５３＝３×２×１１×２３

と表せます。

　偶数個の和は、奇数個の和と等しく表せることわかっています。

奇数個の和のうち、まん中の数がその平均なので、

まん中の数をＡとすると、Ａ×奇数個＝１５１８ となります。

１５１８＝２×３×１１×２３ なので、Ａの方に２が含まれます。

残りの３，１１，２３ の分け方を（Ａ÷２、個数）として考えると、

（３、１１×２３）、（１１、３×２３）、（２３、３×１１）

（１１×２３、３）、（３×２３、１１）、（３×１１、２３） の６通りあります。

まず、（３、１１×２３）、（１１、３×２３）、（２３、３×１１）は

Ａ＝６、個数：１１×２３個

Ａ＝２２、個数：６９個

Ａ＝４６、個数：３３個　　ですが、図１や（２）から当てはまりません。

残りの（１１×２３、３）、（３×２３、１１）、（３×１１、２３）のうち、

（１１×２３、３）は、個数が３個というのは４＋５＋６の場合なので

あてはまりません。

よって、（３×２３、１１）、（３×１１、２３）のどちらかを調べればよい

ことになります。

まず、Ａ＝２×３×２３＝１３８ で個数が１１個かを調べると、

１３８は１１×１１＝１２１と１２×１２＝１４４の間にあるので、

個数は１１個ですので、これが正解です。これは第１１行目です。

確認としてＡ＝２×３×１１＝６６のとき、個数が２３個かを調べると、

６６は、８×８＝６４と、９×９＝８１の間なので、個数は２３個には

なりません。

奇数個（１１個）の方が右側の式ということが、

１３８がまん中ということからわかります（１２×１２＝１４４に近い）。

よって、偶数個の式は、第１１行目の左側なので、

１１×２－１＝第２１式 であることがわかります。

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