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2010年1月15日 (金)

平面図形の面積 第72問 面積比 (江戸川学園取手中学 2009年(平成21年度) 入試問題 算数)

 

問題 (江戸川学園取手中学 2009年 入試問題 算数) 

     難易度★★★★

 Pic_0889q

 三角形ABCの辺ACを三等分する点P,Qと、辺BCを2等分

する点Rを頂点A,Bと結んだ線BP,BQ,ARの交点を図のように

点S,Tとします。このとき、次の問に答えなさい。

 

 (1)長さの比、AT:TRを求めなさい。

 (2)長さの比、AS:ST:TRを求めなさい。

 (3)三角形BSTの面積は三角形ABCの面積の何倍ですか。

 (4)四角形CQTRの面積は三角形ABCの面積の何倍ですか。

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解答

 (1)AT:TRを求めるには、

       三角形ABTの面積:三角形BTRの面積

あるいは、三角形ACTの面積:三角形CTRの面積

がわかればよいことになります。 

  Pic_0890a

上の図1を見ると、

三角形APTの面積=三角形PQTの面積=三角形CQTの面積

三角形BRTの面積=三角形CRTの面積

三角形ABRの面積=三角形ACRの面積

なので、三角形ABTの面積=三角形ACTの面積 とわかります。

 

すると、三角形ABTの面積:三角形AQTの面積=3:2 となるので

BT:TQ=3:2 とわかり、

三角形BCTの面積:三角形CQTの面積=3:2

三角形ABRの面積:三角形ACRの面積=1:1 より、

三角形ABRの面積:三角形ACRの面積:三角形CQTの面積

 =3:3:4 とわかります。

 

よって、三角形ACTの面積:三角形CTRの面積=4×3:3

=4:1 となるので、AT:TR=4:1 です。

  

 (2)(1)と同様に、まずAS:SRを求めます。

      三角形ABSの面積:三角形BRSの面積

あるいは 三角形APSの面積:三角形CRSの面積

の面積比がわかればAS:SRがわかります。

  Pic_0891a

 上の図2の3つの黄色い三角形(APS、PQS、CQS)は面積が

等しく、2つの青い三角形(BRS、CRS)の面積は等しく、

三角形ABRの面積=三角形ACRの面積 なので、

    三角形ABSの面積=三角形ACSの面積

                =三角形APSの面積の3倍

なので、BS:SP=3:1 ということがわかります。

 

このことから、

三角形BRSの面積:三角形CRSの面積:三角形CPSの面積

3:3:2 と求められるので、

三角形ABSの面積:三角形BRSの面積=3:3=1:1 とわかり、

AS:SR=1:1 と求められます。

 

よって、ARは下の図3のようになるので、

      Pic_0892a

比をそろえると、AS:ST:TR=5:3:2 となります。

 

 (3)下の図4を参考にすると、

三角形BSTの面積は、三角形ABRの面積の3/10です。

  Pic_0893a

三角形ABRの面積は三角形ABCの面積の1/2 なので、

三角形BSTの面積は三角形ABCの面積の1/2 × 3/10=3/20

とわかります。

 

 (4) 四角形CQTRの面積は、

三角形BCQの面積から三角形BRTの面積を除いたものです。

 

 三角形BCQの面積は三角形ABCの面積の1/3、

 三角形BRTの面積は三角形ABCの面積の1/10 なので、

四角形CQTRの面積は、三角形ABCの面積の7/30 となります。

  (1/3 - 1/10=7/30)

 

 

 江戸川学園取手中学の過去問題集は → こちら

 江戸川学園取手中学の他の問題は → こちら

 

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