数の性質 第３２問 （徳島文理中学 2008年（平成20年度） 入試問題 算数）

問題　（徳島文理中学　2008年　入試問題　算数）　難易度★★★

整数をいくつかの整数の和で表し、和を作る整数をかけてできる

数について考えます。たとえば、５について考えると、

１＋１＋１＋１＋１、１＋１＋１＋２、１＋１＋３ など６通りあり、

このうち、現れる整数をかけて最も大きくなるのは、２＋３の

ときで、２×３＝６となります。また、１＋１＋３ と、１＋３＋１と、

３＋１＋１は同じものとみなすこととし、次の問に答えなさい。

　（１）整数「６」について、いくつかの整数の和で表して、現れる

　　　 整数をかけてもっとも大きくするといくらになりますか。

　（２）整数「１６」について、いくつかの整数の和で表して、現れる

　　　 整数をかけてもっとも大きくするといくらになりますか。

　（３）ある整数について、いくつかの整数の和で表して、現れる

　　　 整数をかけてもっとも大きくするには、どのようにすれば

　　　 よいのか答えなさい。

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解答

　（１）６＝１＋１＋１＋１＋１＋１　とすると、現れる数をかけると

　　　 １×１×１×１×１×１＝１ です。

６＝２＋１＋１＋１＋１　とすると、かけてできる数は「２」

６＝３＋１＋１＋１　とすると、かけてできる数は「３」

６＝４＋１＋１　とすると、かけてできる数は「４」

６＝５＋１　とすると、かけてできる数は「５」　　です。

６＝２＋２＋２　とすると、かけてできる数は２×２×２＝「８」です。

６＝２＋３＋１　とすると、かけてできる数は「６」です。

６＝２＋４ とすると、かけてできる数は「８」です。

６＝３＋３　とすると、かけてできる数は、「９」です。

よって、もっとも大きくすると「９」になります。

　（２）４＝２＋２　なので、「４」を１つ使うことと「２」を２つ使うことは

同じ結果となります。

５＝２＋３ なので、「５」を１つ使うことよりも、「２」と「３」に分けて

２×３＝６ として使う方が大きい結果となります。

以降も、「６」は「３」と「３」に分ける方が大きい結果に、

「７」は「３」、「２」、「２」に分ける方が大きい結果に、

「８」は「２」を３つ、「９」は「３」を２つ使うことに等しく、

「１０」も「５」と「５」に分けた方が大きい結果となり、

さらに「５」は「２」と「３」に分けた方が大きい結果となります。

１６＝２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋２　とすると、

２×２×２×２×２×２×２×２＝２５６

ここで、「６」＝２＋２＋２ としたときと、「６」＝３＋３ としたときでは、

３＋３の方が大きい結果となるので、

１６＝３＋３＋３＋３＋２＋２ として、

３×３×３×３×２×２＝３２４ がもっとも大きくなります。

（３）大きい結果とするには、

偶数の場合は、

　　「２」だけの和で表した後で、２＋２＋２をすべて３＋３に直す。

奇数の場合は、

　　「２」だけの和で表し、最後の＋１は、「＋３」とした後で、

　　 ２＋２＋２をすべて３＋３に直せばよい。

これをまとめると、整数を「２」と「３」だけの和で表し、

できる限り「３」を多く使えばよい。ということになりますね。　

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