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2010年1月18日 (月)

立体図形の体積比 第3問 (城北中学 2007年(平成19年度) 入試問題 算数)

 

問題 (城北中学 2007年 入試問題 算数) 

     難易度★★★★★

 

下の図1のように立方体の頂点を結ぶと、

すべての面が正三角形の三角すいができます。

Pic_0905q

(1)図1の立方体の1辺の長さが1cmのとき、三角すいの体積を

   求めなさい。

(2)図2のように、すべての面が正三角形の三角すいと、同じ辺の

   長さ(・印の辺)でできた四角すいの体積比を求めなさい。

   (三角すいと四角すいのすべての辺の長さは等しい)

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解答

 (1)求める三角すいは、立方体から底面が直角二等辺三角形で

    高さ1cmの三角すいを4個除いたものなので、その体積は

    1×1×1-(1×1÷2×1÷3)×4=1/3 c㎥ です。

 

 (2)図2の四角すいは、正方形の面を境として2つ合わせると、

下の図3のように正八面体になります。

    Pic_0906a_2

辺の長さの等しい三角すいと四角すいがあるので、

図3の正八面体の正三角形の面に、三角すいを合わせていくと

下の図4のようになります。

Pic_0907a

正八面体の8つの面のうち4つに三角すいを合わせると、

大きい三角すいとなります。大きい三角すいをA-BCDと

すると、下の図5のように、各辺のまん中の点E~Jを

結んだものが正八面体EFGJHI となります。

Pic_0908a

三角すいA-BCDと、三角すいA-EFGの相似比は2:1なので、

体積比は、2×2×2:1×1×1=8:1 となります。

三角すいA-EFGの体積を①とすると、

正八面体EFGJHIの体積は、⑧-①×4=④ なので、

四角すいE-FGJH の体積は、④÷2=② となります。

 

よって、辺の長さの等しい三角すいと四角すいの体積比は、

1:2 となります。

 

 

 城北中学の過去問題集は → こちら

 城北中学の他の問題は → こちら

 

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