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2010年1月 6日 (水)

規則性の問題 図形 第6問 (栄東中学 2004年(平成16年度) 入試問題 算数)

 

問題 (栄東中学 2004年 入試問題 算数) 難易度★★★

 

1辺1cmの正方形があります。この正方形の辺にぴったり

同じ正方形を並べると、たて1cm、よこ2cmの長方形になります。

この長方形に1辺2cmの正方形を下図のように並べると

たて3cm、よこ2cmの長方形となります。さらに図のように

時計回りに長方形の長い辺に同じ長さの1辺の正方形を

ぴったり並べていきます。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_0860q

(1)10枚目に並べる正方形の面積を答えなさい。

(2)10枚目の正方形を並べたときにできる長方形の周囲の長さを

   答えなさい。

(3)ある正方形を並べると、長方形の周囲の長さが288cm増え

   ました。このとき、並べた正方形の面積を答えなさい。

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解答

 (1)たとえば4枚目に並べる正方形の1辺の長さは、

2枚目の正方形と3枚目の正方形の1辺の長さを足したもので、

5枚目に並べる正方形の1辺の長さは、

3枚目の正方形と4枚目の正方形の1辺の長さを足したものに

なっています。

 

よって、並べる正方形の1辺の長さは、直前と、その1つ前に

並べた正方形の1辺の長さの和になることがわかります。

 

10枚目まで、並べる正方形の1辺の長さを調べると、下の表の

ようになります。

  

Pic_0861a

ゆえに、10枚目に並べる正方形は、1辺55cmとなることが

わかるので、その面積は、55×55=3025c㎡ です。

 

 (2)長方形の周囲の長さは、下の図1のように、

        最後に並べた正方形の4辺の長さ

           + 直前に並べた正方形の2辺の長さ

 として表すことができます。

      Pic_0862a

10枚目の正方形を並べたときにできる長方形の周囲の長さは、

55×4+34×2=288cm です。

 

 (3)正方形を加えたときに増える長方形の長さは、下の図2の

      Pic_0863a

赤い線の部分になります。(青い線の部分は、変わらない)

 

 よって、288cm増えるとき 、288÷2=144cm が、

並べた正方形の1辺の長さになるので、この正方形の面積は、

144×144=20736c㎡ となります。

 

 

 栄東中学の過去問題集は → こちら

 栄東中学の他の問題は → こちら

 

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