速さ 第１７問 （洛南高校附属中学 2004年（平成16年度） 入試問題 算数）

問題　（洛南高校附属中学　2004年　入試問題　算数）　

　　　　 難易度★★★★★

　図のような１０ｃｍ×３０ｃｍ×３０ｃｍの直方体の容器にＡ，Ｂ，Ｃの

３つの排水口がついています。容器にはア、イの仕切り板を入れる

場所が等しい間かくであり、Ｐ，Ｑ，Ｒの３つの仕切り板のうちどれか

を入れることができます。仕切り板Ｐの高さは３０ｃｍで、仕切り板を

入れるときは容器の底までぴったりと入れます。

　まず、容器に水を満たし、仕切り板Ｐをアに入れた後に

排水口を同時に開くと、Ｐの左側と右側の水は同時に排水

されました。

　次に、容器に水を満たし、仕切り板Ｐをイに入れた後に

排水口を同時に開くと、Ｐの右側の水がすべてなくなったとき、

左側の水は１５ｃｍの高さまで残っていました。

　（１）排水口Ａ，Ｂ，Ｃの排水の速度の比を求めなさい。

容器に水を満たし、アに仕切り板Ｐを、イに仕切り板Ｑを入れた後に

排水口を同時に開くと、Ｃが排水を終えたときＰの左側の水の高さは

６ｃｍでした。

　（２）仕切り板Ｑの高さを求めなさい。

容器に水を満たし、仕切り板Ｐ，Ｒをア、イに入れた後に排水口を

同時に開いて排水を行うとき、ア、イにＰ，Ｒのどちらを入れるかに

よって容器の中の水がすべて排水されるのにかかる時間は２通り

考えられます。

　（３）仕切り板Ｒの高さが１２ｃｍのとき、考えられる２通りの時間の

　　　 うち、短い方と長い方の比をもっとも簡単な整数の比で表し

　　　 なさい。

　（４）考えられる２通りの時間の短い方と長い方の比が６：７のとき

　　　 仕切り板Ｒの高さを求めなさい。

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解答

　（１）アに仕切りを入れると左右同時に排水され、イに仕切りを

入れると左が１５ｃｍ残ったので、それぞれの場合に排水された

水の量は、１０ｃｍ×１０ｃｍ×３０ｃｍ＝①とすると、下の図１の

ようになります。

排水口Ａ，Ｂ，Ｃの排水の速度をそれぞれａ，ｂ，ｃ とすると、

速度の比は、（同じ時間で）排水した水の量の比に等しいので

ａ：ｂ＋ｃ＝１：２、ａ＋ｂ：ｃ＝１：１ となります。これは下の図２の

ようになるので、

　　　　　

比をそろえると、ａ：ｂ：ｃ＝２：１：３ であることがわかります。

　（２） Ｃが排水を終えたとき、Ｐの右側の水の高さは不明なので

下の図３のようになります。

　　　　　

まず、最初の水が満たされた状態から考えると、（１）から、

仕切り板Ｑの高さまでは、仕切り板Ｐの左右は同時に減るので、

下の図４のようになります。

　　　　　

仕切りＱの高さまで排水されると、排水口Ｂ，Ｃに分かれるので

Ａ，Ｃの排水される速度は、（１）より２：３に変化します。

すなわち、Ａの方がおそく、その差が６ｃｍの高さになるので、

仕切り板Ｑの高さ＝６×３＝１８ｃｍ とわかります。

　（３）Ｐ，Ｒがア、イのどちらに入っているか２通り考えると、

まずＰがア、Ｒがイのとき、Ｒの高さ１２ｃｍまでは同じ高さで

水が減ります。

次にＰがイ、Ｒがアのとき、Ｒの高さ１２ｃｍは１５ｃｍより低いので

排水口Ｃの水はすべてなくなり、図５の右図のようになっています。

図５以降は排水口Ｂがもっともおそく排水し、その時間は同じです。

差がつくのは、その前までなので、Ｂが１２ｃｍ分の水を排水する

時間を基準に考えます。

上の図６のように、Ｒより上の部分は、Ｐがアのときは

ＢとＣの平均の（１＋３）÷２＝２の速度で排水することに等しく、

Ｐがイのときは、ＡとＢの平均の（２＋１）÷２＝１．５の速度で

排水することに等しくなります。

高さの比は水の体積比を表しているので、

　Ｐがアのときに排水にかかる時間は、１８÷２＋１２÷１＝２１

　Ｐがイのときに排水にかかる時間は、１８÷１．５＋１２÷１＝２４

となるので、時間の比は２１：２４＝７：８ となります。

　速さ×時間＝体積 となることを理解しましょう。

　（４）仕切り板Ｒの高さを□ｃｍ、３０－□＝△ｃｍとすると、

下の図７のようになります。

△÷２＋□：△÷１．５＋□＝６：７

△÷２＋□：△÷１．５＋□＝７：６ の２通り考えられますが、

△÷２より△÷１．５の方が大きいので、

△÷２＋□：△÷１．５＋□＝６：７ について考えればよいです。

⑥：⑦の差である⑦－⑥＝① は、

（△÷１．５＋□）　－　（△÷２＋□）　＝△/６ になります。

　よって、△＝⑥ です。

⑥÷２＋□：⑥÷１．５＋□＝⑥：⑦

③＋□：④＋□＝⑥：⑦　となって、□＝③ とわかります。

ここで、△＋□＝３０ｃｍ なので、⑥＋③＝⑨＝３０ｃｍ です。

ゆえに、求めるＲの高さ□＝③＝３０÷３＝１０ｃｍ とわかります。

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