立体図形の体積 第９問 （湘南白百合学園中学 2002年（平成14年度） 入試問題 算数）

問題　（湘南白百合学園中学　2002年　入試問題　算数）　

　　　　 難易度★★★

　図１のような、直角をはさむ２辺の長さが１０ｃｍの直角二等辺

三角形を底面とする、高さ２５ｃｍの三角柱の容器があります。

　　

（１）図１のとき、高さ１６ｃｍまで水を入れました。次に容器を

　　 図２のように四角形ＢＣＦＥを底面として置くと、水面までの

　　 高さＢＰの長さを求めなさい。

（２）図１のとき、高さ２０ｃｍまで水を入れました。次に容器を

　　 辺ＤＥ を床につけて図３のように傾け、水面が頂点Ｂを

　　 通るようにして置いたとき、ＦＱの長さを求めなさい。

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解答　

　（１）容器に高さ１６ｃｍまで水が入っているとき、水が入っていない

部分の体積は、下の図４の青い部分の体積と等しくなります。

　　

この部分の体積＝１０×１０÷２×（２５－１６）＝４５０ｃ㎥ です。

青い部分の体積は、三角形ＡＢＣが直角二等辺三角形なので、

ＡＰ＝ＰＲ となり、ＡＰ×ＡＰ÷２×２５＝４５０ という式ができ、

ＡＰ×ＡＰ＝３６ なので、ＡＰ＝６ｃｍ とわかります。

よって、ＢＰの長さ＝１０－６＝４ｃｍ です。

　 （２）容器に高さ２０ｃｍまで水が入っているとき、水が入って

いない部分の体積は、図５の青い部分の体積と等しくなります。

辺ＤＥを床につけているので、水面は辺ＡＢと、点Ｑを通ります。

この部分の体積は、１０×１０÷２×（２５－２０）＝２５０ｃ㎥ です。

青い部分は、底面が三角形ＡＢＣ、高さがＣＱの三角すいなので、

体積は、１０×１０÷２×ＣＱ÷３＝２５０ となります。

よって、ＣＱ＝１５ｃｍ となるので、ＦＱの長さ＝２５－１５＝１０ｃｍ

と求めることができます。

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