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2009年12月25日 (金)

場合の数 並べ方 第17問 (東大寺学園中学 2009年(平成21年度) 入試問題 算数)

 

問題 (東大寺学園中学 2009年 入試問題 算数)

     難易度★★★★

 

横一列に並んだn個の○の間に、仕切りの│を入れていくつかの

部分に分ける方法の数をS(n)とします。

 

 例えば、n=2のとき

 ○○に対し ○│○ よりS(2)=1

      

      n=3のとき

 ○○○に対し ○│○○、○○│○、○│○│○よりS(3)=3

です。このとき次の問いに答えなさい。

 

(1) S(4)、S(5)を求めなさい。

(2) S(n)=127となるnを求めなさい。

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解答

 (1)S(4) は、○○○○ に対して|を入れると、

|1本が入るのは、○|○○○、○○|○○、○○○|○

|2本が入るのは、○|○|○○、○|○○|○、○○|○|○

|3本が入るのは、○|○|○|○

以上より、S(4)=3+3+1= です。

 

 S(5)は、○○○○○に対して、|を入れると、

|1本が入るのは、4通り(4か所から1つを選ぶ)

|2本が入るのは、6通り(4か所から2つを選ぶ)

|3本が入るのは、4通り(4か所から3つを選ぶ)

|4本が入るのは、1通り(4か所すべてに入れる) 

よって、S(5)=4+6+4+1=15 です。

 

 (2)S(n)=127 となる nを求める問題です。

何か規則があるものと推測できます。

 

S(2)=2

S(3)=2+1=3

S(4)=3+3+1=7 

S(5)=4+6+4+1=15

  

S(5)の場合について考えると、下の図のように、

Pic_0843a

|を入れるか入れないかで、入れ方が2×2×2×2=16通り

あります。このうち、|をまったく入れない(1通り)ことがないので、

16-1=15通り となります。

これをS(n)の場合に適用すると、

S(n)→2を(n-1)回かけて、1を引く と求まります。

 

この規則より、 

S(6)=2×2×2×2×2-1=31(通り)

S(7)=2×2×2×2×2×2-1=63(通り)

S(8)=2×2×2×2×2×2×2-1=127(通り)

となるので、

S(n)=127 となる n = とわかります。

 

 

 東大寺学園中学の過去問題集は → こちら

 東大寺学園中学の他の問題は → こちら

 

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