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2009年12月22日 (火)

文章題 第22問 数の性質 (洛星中学 2009年(平成21年度) 入試問題 算数)

 

問題 (洛星中学 2009年 入試問題 算数) 難易度★★★★

 

A君がくじ引きをします。当たりくじを引いたときには得点400点が

与えられ、さらに裏に点数が書かれた12枚のカードから1枚引き、

その点数をボーナス点として加えます。

カードは7点7×3点7×3×3点のカードが2枚ずつ、

7×3×3×3点7×3×3×3×3点のカードが3枚ずつあり、

1度引いたカードは元には戻しません。

  

 12回くじ引きをしたとき、A君の得点の合計は3267点でした。

A君が5種類の点数のカードをそれぞれ何枚引いたのか求めなさい。

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解答

 まず問題を整理すると、

 

A君がくじを引き、

 ○ハズレ→0点

 ○アタリ→400点+ボーナス点  

12回くじ引きをした結果、得点が3267点となった。

 

ボーナス点は、7、7×3、7×3×3、7×3×3×3、

7×3×3×3×3 で、全て7の倍数 です。

一方、3267÷7=466...より、3267は7の倍数ではなく、

このあまりの「5」を決める要素は、アタリの際の400点です。

400÷7=57...1 より、あまりが5になるのは、

400×÷7=285... となる、5回アタリを引いたときです。

 

なお、400×(5+7)÷7=685...5 となりますが、

400×12=4800点となり、3267点を超えてしまうので、

不適切です。

 

 A君がアタリを引いた回数が5回とわかったので、

400×5=2000点を3267点からのぞくと、1267点がボーナス点

です。

 

 ボーナス点はすべて7の倍数なので、ボーナス点を7で割ると、

1267÷7=181 です。

1点、3点、3×3点、3×3×3点、3×3×3×3点 の合計が

181点です。

 

ここで、大きい点数からのぞいていきます。

(小さいものから数えると、たとえば1点が181枚などのように

なってしまい収拾がつかなくなります。)

  

3×3×3×3=81点のカードは、2回引けて、

181-81×2=181-162=19点が残ります。

3×3×3=27点のカードは、19点より大きいので0枚 です。

3×3=9点のカードは、2回引けて、

19-9×2=1 点が残り、

3点のカードは0枚、1点のカードは1枚 ということになります。

 

よって、A君は、

7点・・・1枚、7×3点・・・0枚、7×3×3・・・2枚

7×3×3×3・・・0枚、7×3×3×3×3・・・2枚

引いたことになります。

 

 

 <別解>

1点、3点、3×3点、3×3×3点、3×3×3×3点 の合計が181点

ということは、181を3進法で表せばよいことになります。

 

すると、下のように、「20201」となります。

        Pic_0828a

よって、A君は、

7点・・・1枚、7×3点・・・0枚、7×3×3・・・2枚

7×3×3×3・・・0枚、7×3×3×3×3・・・2枚

引いたことになります。

 

 

 洛星中学の過去問題集は → こちら

 洛星中学の他の問題は → こちら

 

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