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2009年12月22日 (火)

平面図形の面積 第67問 (灘中学 2008年(平成20年度) 入試問題 算数)

 

問題 (灘中学 2008年 入試問題 算数) 難易度★★★★★

         Pic_0832q

 上の図の四角形ABCDにおいて、AB,AD,AE の長さは

すべて等しい。このとき、四角形ABEDの面積を求めなさい。

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解答

 四角形ABEDの面積は、

直角二等辺三角形ABDの面積+三角形BDEの面積 で

求められ、三角形BDEの面積は、

  2×1÷2=1c㎡

です。

 

二等辺三角形ADEにおいて、AからDEへ垂線AFを下ろすと、

DF=FE=1cm です。また、下の図1のようにABの延長とDCの

延長の交点をG とします。

Pic_0833a

すると、三角形ADFと三角形GBCは合同です。 

よって、AD=AB=BG なので、三角形ADGにおいて

AD:AG=1:2 ということがわかります。

 

三角形ADG と三角形CBG、三角形FAG、三角形FDA は

相似なので、AD:AG=1:2 より、AF=2cm、FG=4cm

CG=2cm、CE=1cmとわかります。

 

さらに、AB=BGより、

三角形ABDの面積=三角形BGDの面積 となるので、

三角形ABDの面積は、三角形BGDの面積を求めればよい

ことになります。

 

すると、FG=4cmなので、DG=5cmとわかり、

三角形BGDは、底辺DG,高さBCの三角形なので、その面積は

 5×1÷2=2.5c㎡

となります。

 

よって、四角形ABEDの面積は、

 1+2.5=3.5c㎡

となります。 

 

 

 <別解>

結果論ですが、四角形ABCDは、図2のような方眼紙上にあり、

      Pic_0834a

四角形ABEDの面積は、

  2×3-(1×2÷2×2+1×1÷2)=3.5c㎡

となります。

 

 

 灘中学の過去問題集は → こちら

 灘中学の他の問題は → こちら

 

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コメント

あまり突飛な補助線は必要ないと思います。
角AED=角ADE、AEB=ABE、角A=90度より、角DEB=AED+AEB=135度が得られるので、三角形BECは直角二等辺となってCE=1cmです。

あとはこの図形をAを中心に90度ずつ回転したものを4枚重ねれば正方形ができるので、面積は4×4÷4-1×1÷2=3.5となります。

投稿: これは | 2011年2月24日 (木) 14時25分

これは様、コメントありがとうございます。

三角形BECが直角二等辺三角形であることまでは
たどり着くことはできるのですが、その後の
頂点Aを中心に90度ずつ回転させたものを
4つ合わせて正方形を作るという発想に至ることが
できませんでした。

高度なひらめきが必要な解法かと思うのですが、
いかがでしょうか。
この発想がすぐ出ればカッコイイですね☆

また気づいた点がございましたら、コメント
よろしくお願いいたします。

投稿: 桜組 | 2011年2月24日 (木) 16時38分

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