« 平面図形の角度 第27問 (鷗友学園女子中学 2007年(平成19年度) 算数受験問題) | トップページ | 規則性の問題 n進法 第3問 (甲南中学 2008年(平成20年度) 算数入試問題) »

2009年12月15日 (火)

点の移動 第4問 (清風南海中学 2008年(平成20年度) 入試算数問題)

 

問題 (清風南海中学 2008年 入試算数問題)

     難易度★★★★★

 

1辺が10mの正方形の部屋の中に、底面が1辺2mの正方形の

柱があります。このとき次の問に答えなさい。 

   Pic_0803q

 (1)柱が図1の場所にあるとき、S君がAの場所から部屋を見ると、

    見えない床の部分は灰色の部分になります。

    この面積を答えなさい。

 

 (2)柱が図2の場所にあるとき、S君がAの場所から部屋を見ると、

    見えない床の面積はいくらですか。

 

 (3)柱が図2の場所にあるとき、P君がAの場所からDの場所へ

    歩きました。このときP君が一度も見ることのできない床の

    面積を答えなさい。

 

 (4)柱が図2の場所にあるとき、P君がAの場所から反時計回りに

    毎秒1mの速さで部屋の辺上1周し、Q君はAの場所から

    時計回りに毎秒2mの速さで部屋の辺上を2周します。

    このとき、P君、Q君が部屋を見るとき、2人とも見ることの

    できない床があるのは何秒間あるか答えなさい。

----------------------------------------------

----------------------------------------------

解答 

 (1)下の図3のようにE,F,G,Hをとると、

三角形AEFと三角形EGHは相似です。

   Pic_0804a

AF=8m、EF=EH=2m より、GH=0.5m とわかり、

三角形EGHの面積=2×0.5÷2=0.5㎡ となります。

 

 

 (2)見えない部分は下の図4の灰色の部分になります。

   Pic_0805a

この部分の面積=正方形ABCDの面積-

          (三角形ABJの面積×2+四角形AKNMの面積)

 

三角形ABJは三角形AIKと相似で、相似比は6:10=3:5 より、

BJの長さ=4÷3×5=20/3 (m) と求められます。

よって三角形ABJの面積=10×20/3 ÷2=100/3 ㎡ です。

 

次に、四角形AKNM=三角形AKN+三角形AMN

なので、四角形AKNMの面積=2×6÷2×2=12㎡ です。

 

以上より、求める部分の面積は、

10×10-(100/3 ×2+12)=64/3=21と1/3 (㎡)です。

 

 

 (3)P君がAからDへ移動するときに、一度も見ることのできない

部分は、下の図5の黒い部分となります。

   Pic_0806a

求める部分:三角形KNRは、三角形JORと相似です。

(2)より、BJ=20/3 m なので、DO=20/3 m です。

よって、JOの長さ=20/3 ×2-10=10/3 m とわかり、

JO:KN=10/3:2=10:6=5:3 の比となります。

 

BI=4m なので、三角形KNRの高さは、

4÷(5+3)×3=1.5m と求められ、

三角形KNRの面積=2×1.5÷2=1.5㎡ となります。

 

なお、三角形KNRと三角形ADRの相似を利用してもよいでしょう。

 

 

 (4)部屋の1周は10×4=40m あるので、40秒間について

調べればよいことになります。

 

 最初は図4の灰色の部分が共通して見えない部分です。

これがどのように動いていくか考えます。

 

 P君から柱の角を結んだ線を、それぞれPT、PU

 Q君から柱の角を結んだ線を、それぞれQV、QW とすると、

 

 まず、Q君がBに到達したところまでは、下の図6のように

三角形NMRのように共通して見えない部分があります

   Pic_0807a

この共通部分がなくなるのは、下の図7のように、

P君が6m進んで、NMとPUが重なるときです。(6秒後)

   Pic_0808a

共通して見えない部分がないのは、Q君が14m進んだときで、

下の図の8のようになる(KLとQWが重なる)ときです。(7秒後)

   Pic_0809a_2

Q君が図8よりCの方へ移動すると、KLを底辺として、

共通して見えない部分ができ始めます。

 

 この見えない部分は、Q君がCに移動したとき(P君はD)も

存在し、Q君がCD上を移動して、Dへ移動しても、

P君もCD上にいるので、存在したままとなります。

 

 P君がCに着くまで、Q君はAD上を移動しますので、

見えない部分がなくなるのは、下の図9の状態になってからです。

    Pic_0810a

図9から、Q君がAにつくまで、見えない部分はできません。

(2秒間)

 

P君がC、Q君がAにいる状態(下の図10)以降は、

ちょうどACを軸に正方形ABCDを反転させた状態と

同じになる(巻き戻しているような感じになる)ので、

   Pic_0811a

共通して見えない部分ができる時間は、それまでの20秒の間と

同じになることになります。

 

よって、20秒間にP君、Q君から共通して見えない部分が

できなかったのは、1+2=3秒間 で、残り17秒間は

存在していたので、40秒間には、17×2=34秒間

あることになります。

 

 

 清風南海中学の過去問題集は → こちら

 清風南海中学の他の問題は → こちら

 

|

« 平面図形の角度 第27問 (鷗友学園女子中学 2007年(平成19年度) 算数受験問題) | トップページ | 規則性の問題 n進法 第3問 (甲南中学 2008年(平成20年度) 算数入試問題) »

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




トラックバック


この記事へのトラックバック一覧です: 点の移動 第4問 (清風南海中学 2008年(平成20年度) 入試算数問題):

« 平面図形の角度 第27問 (鷗友学園女子中学 2007年(平成19年度) 算数受験問題) | トップページ | 規則性の問題 n進法 第3問 (甲南中学 2008年(平成20年度) 算数入試問題) »