規則性の問題 ｎ進法 第３問 （甲南中学 2008年（平成20年度） 算数入試問題）

問題　（甲南中学　2008年　算数入試問題）　難易度★★★★

数字の１と２だけを使って整数を作り、小さい方から並べます。

　　　　　　　　１，２，１１，１２，２１，２２，１１１・・・

このとき、次の問に答えなさい。

　（１）１１２２２ は小さい方から数えて何番目ですか。

　（２）作られた１１１１１から２２２２２までの５けたの整数を全て

　　　 足すといくらですか。　

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解答　

　（１）作れる整数の個数について、けた数によって分類すると、

１けたの整数・・・１，２・・・２個

２けたの整数・・・２×２＝４個

３けたの整数・・・２×２×２＝８個

４けたの整数・・・２×２×２×２＝１６個

５けたの整数・・・２×２×２×２×２＝３２個

　このように、２倍に２倍に増えていきます。

問題の１１２２２は５けたの整数です。

４けたの最後の整数：２２２２は、２＋４＋８＋１６＝３０番目です。

１１１１１が３１番目です。

「１１●●●」という整数について、●●●の部分には、

１１１から２２２までの３けたの整数があてはまり、

その数は、２×２×２＝８個 なので、

「１１２２２」は、３０＋８＝３８番目 となります。

　（２）５けたの整数は、２×２×２×２×２＝３２個　あります。

それぞれのケタについて、１か２のどちらかのものが必ずあります。

　たとえば、２けたのものは、１１，１２，２１，２２ の４個あり、

その和は、１０×２＋２０×２＋１×２＋２×２＝１１×２＋２２×２

このように計算できます。

よって、５けたの整数の和は、

（１１１１１＋２２２２２）×（３２÷２）＝５３３３２８ となります。　

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