規則性の問題 数の並び 第１４問 フィボナッチ数列 （渋谷教育学園幕張中学 2008年（平成20年度） 入試問題 算数）

問題　（渋谷教育学園幕張中学　2008年　入試問題　算数）

　　　　 難易度★★

次のような規則に従って整数を並べていきます。

　●１番目、２番目の数をともに１とし、３番目以降は、その直前の

　　 ２つの数を足した数とします。

　たとえば、最初のいくつかの数を並べると次のようになります。

　　　１，１，２，３，５，８，１３，・・・・

　このとき、次の問に答えなさい。

　（１）１５番目の数を３で割ったときのあまりはいくつですか。

　（２）２００７番目の数を３で割ったときのあまりはいくつですか。

　（３）５番目から２００８番目までの数のうち、３で割るとあまりが１に

　　　 なるものはいくつありますか。

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解答　　フィボナッチ数列と呼ばれるものです。

　（１）順に数えると、１５番目は、

1，1，２，3，5，8，１３，２１，３４，５５，８９，１４４，２３３，３７７，６１０

１５番目は６１０で、３で割るとあまりは１です。

　（２）２００７番目まで書くのは不可能なので、規則性を見つけます。

（１）で調べた整数を３で割ったときのあまりを、１番目から書くと、

１，１，２，０，２，２，１，０，１，１，２，０，２，２，１，・・・

となり、１，１，２，０，２，２，１，０ がくり返されることがわかります。

８個のくり返しなので、２００７÷８＝２５０あまり７ より、

２００７番目の数を３で割ったときのあまりは、７番目の１となります。

　（３）８個のくり返しの中に、３で割ると１あまるものは３個あります。

さらに、５番目からということに注意すると、５番目から２００８番目

までの数のうち、３で割るとあまりが１になるものは、

（２００８÷８の商）×３－２＝７５１個 となります。

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