« 平面図形の面積 第65問 (白陵中学 2009年(平成21年度) 受験算数問題 改題) | トップページ | 平面図形の面積 第66問 (大阪星光学院中学 2004年(平成16年度) 入試算数問題) »

2009年12月10日 (木)

場合の数 図形の選び方 第5問 (久留米大学附設中学 2007年(平成19年度) 入試算数問題)

 

問題 (久留米大学附設中学 2007年 入試算数問題)

     難易度★★★★★

 

 1辺7cmの正方形の方眼紙があります。これから等しい辺の

長さが3cmの直角二等辺三角形を2つ取り除くと、図1のような

六角形ABCDEF ができます。図1の六角形ABCDEF の赤く

ぬられた1辺1cmの正方形を、「六角形のまん中の正方形」と

呼ぶことにします。

Pic_0784q_3

次に、1辺9cmの正方形の方眼紙を用意します。

この方眼紙のマス目と六角形ABCDEFのまん中の正方形が

ぴったり重なるように図2のように重ね、重なった部分を灰色に

ぬります。六角形のまん中の正方形が方眼紙からはみ出す

ことのないように六角形を動かすとき、次の問に答えなさい。

 

 (1)六角形のまん中の正方形が、図2の緑のマス目にあるとき、

    灰色の部分の面積を答えなさい。

 

 (2)灰色の部分の面積が最大になるとき、その面積を答えなさい。

    また、そうなるような六角形の置き方は何通りありますか。

 

 (3)灰色の部分の面積が最小になるとき、その面積を答えなさい。

    また、そうなるような六角形の置き方は何通りありますか。

 

 (4)六角形のまん中の正方形が、図2の青いマス目にあるとき、

    灰色の部分の面積を答えなさい。また、このときと灰色の

    部分の面積が同じになるように六角形のまん中の正方形を

    置けるマス目を、すべて青くぬって表しなさい。

----------------------------------------------

----------------------------------------------

解答

 (1)求める部分は下の図3のようになります。

        Pic_0785a

この面積は、6cm×6cmの正方形から直角二等辺三角形2個を

除いたものに等しく、

6×6-(3×3÷2+1×1÷2)=31c㎡ となります。

 

 (2)重なる面積が最大となるのは、六角形がすべて方眼紙の上に

あるときなので、面積は、7×7-3×3÷2×2=40c㎡ で、

下の図4のようなときです。

        Pic_0786a_2

六角形ABCDEF の置き方は、頂点D(またはA)を方眼紙の頂点に

図4のように合わせます。ここから六角形を動かせる範囲は

頂点Aを動かせる範囲と同じで、頂点Aは図4に示した9つの場所に

動くことができるので、六角形の置き方は9通り となります。

 

 (3)灰色の部分の面積が最小になるのは、六角形のまん中の

正方形が、下の図5のように方眼紙の4スミにあるときになります。

     Pic_0787a

図の対称性から、①と③、②と④のとき、重なる部分の面積は

等しくなるのですが、②と④のときの方が面積は小さくなり、

この面積は、4×4-3×3÷2=11.5c㎡ となります。

置き方は2通り です。

 

 (4)六角形のまん中の正方形が、図2の青いマス目にあるとき、

できる灰色の部分は下の図6のようになり、六角形から台形を

除いた面積となります。

        Pic_0788a

よって、面積は、40-(4+6)×2÷2=30c㎡ となります。

 

この面積と同じになるのは、まず、下の図7の3通りがあります。

        Pic_0789a

次に、同様に下の図8の3通りあります。

        Pic_0790a

このように、上底4cm、下底6cmの台形が方眼紙の外側に出る

ときの、六角形のまん中の正方形の位置を考えればよいわけで、

他に、下の図9のような場合があるので、

        Pic_0791a

六角形のまん中の正方形が置けるマス目は、下の図10のように

なります。

        Pic_0792a

 

 また、方眼紙が正方形であることを利用すると、下の図11のように

     Pic_0793a

方眼紙の対角線を対称軸として、対称な六角形を作れば、

灰色の部分の面積は等しくなり、六角形のまん中の正方形を

置くことのできる位置を簡単に探すこともできます。

  

 

 久留米大学附設中学の過去問題集は → こちら

 久留米大学附設中学の他の問題は → こちら 

 

|

« 平面図形の面積 第65問 (白陵中学 2009年(平成21年度) 受験算数問題 改題) | トップページ | 平面図形の面積 第66問 (大阪星光学院中学 2004年(平成16年度) 入試算数問題) »

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




トラックバック


この記事へのトラックバック一覧です: 場合の数 図形の選び方 第5問 (久留米大学附設中学 2007年(平成19年度) 入試算数問題):

« 平面図形の面積 第65問 (白陵中学 2009年(平成21年度) 受験算数問題 改題) | トップページ | 平面図形の面積 第66問 (大阪星光学院中学 2004年(平成16年度) 入試算数問題) »