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2009年12月17日 (木)

図形の回転 第10問 (立教新座中学 2006年(平成18年度) 算数入試問題)

 

問題 (立教新座中学 2006年 算数入試問題) 

     難易度★★★★

 

下の図を見て、次の問に答えなさい。

     Pic_0818q

(1)八角形ABCDEFGHの面積を求めなさい。

(2)BHの長さを求めなさい。

(3)八角形ABCDEFGHを直線PRのまわりに1回転させてできる

   立体の体積を求めなさい。

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解答

 (1)三角形BCQ、三角形DCQ、三角形FGS、三角形HGS は

合同な三角形です。

 (底辺CQ=GS=2cm、角度が等しいので)

 

八角形ABCDEFGHは、正方形AQESから、4つの三角形のを

除いたものです。

 

正方形AQESの面積=12×12÷2=72c㎡ です。

 

次に、三角形BCQの面積を求めます。

正方形AQESの対角線の交点をOとすると、

三角形AOQの面積=6×6÷2=18c㎡ です。

三角形POCの面積=4×9÷2=18c㎡ です。

 

2つの直角三角形の面積が等しいので、

この2つの直角三角形から、等しい部分の四角形ABCOを除くと、

三角形BCQの面積=三角形ABPの面積 ということがわかります。

    Pic_0819a_3

三角形BCQと三角形ABPの高さを、図1のようにBT、BWとすると

それぞれ底辺のQC=2cm、AP=3cmなので、

BT:BW=3:2 となります。 (2×BT=3×BW なので)

 

次に、三角形ABWは直角二等辺三角形なので、BW=AW です。

また、BT=WO より、BW+BT=AO=6cm となります。

BW:BT=3:2より、BW=6÷5×3=3.6cm と求められ、

三角形BCQの面積=2×3.6÷2=3.6c㎡ となります。

 

よって、八角形ABCDEFGHの面積は、

72-3.6×4=57.6c㎡ となります。

 

 <別解>

図1の三角形POCと三角形PAUが相似なので、

AU=4÷3=4/3 cmとわかります。

 

次に、三角形ABUと三角形QBCが相似なので、

AU:QC=VB:BT=2:4/3=3:2 とわかり、

VT=AO=6cmなので、BT=3.6cmとわかり、

八角形ABCDEFGHの面積=57.6c㎡ と求められます。

 

 (2)BHの長さ=BWの長さ×2 です。

BWの長さ=6-3.6=2.4cm なので、

BHの長さ=2.4×2=4.8cm です。

 

 (3)求める体積は、図の対称性から、四角形ABCOをAOの周りに

1回転させた立体の体積の2倍に等しくなります。

  

求める立体の体積は、

(三角形COPを回転させた立体-三角形BWPを回転させた立体

+ABWを回転させた立体)×2

=(4×4×3.14×9÷3-2.4×2.4×3.14×5.4÷3

  +2.4×2.4×3.14×2.4÷3)×2

=(16×3-2.4×2.4×1.8+2.4×2.4×0.8)×3.14×2

=(48-2.4×2.4)×6.28

=42.24×6.28

265.2672c㎥ となります。 

  

 

 立教新座中学の過去問題集は → こちら  

 立教新座中学の他の問題は → こちら

 

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