図形の移動 第１２問 （開成中学 2001年（平成13年度） 算数入試問題）

問題　（開成中学　2001年　算数入試問題）　難易度★★★★★

下の図のような台形ＡＢＣＤがあります。同じ印のある辺の長さは

等しいものとして、次の問に答えなさい。

　　

　（１）三角形ＯＢＥを、点Ｏを中心にして、点Ｅ が辺ＣＤ上に初めて

重なるまで時計回りに回転させました。このとき、四角形ＡＢＯＥの

うち、三角形ＯＢＥが通らなかった部分を図に示しなさい。

　（２）（１）の部分の面積は、三角形ＯＢＥの面積の何倍ですか。

　（３）ＯＥ の長さを求めなさい。

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解答　

　（１）台形ＡＢＣＤは等脚台形なので、角Ｂ＝角Ｃです。

また、ＢＡ，ＣＤを延ばし、交点をＰ とすると、下の図１のように

三角形ＰＡＤと三角形ＰＢＣは相似で、

　　

相似比＝ＡＤ：ＢＣ＝１：２ となり、ＡＢ＝８ｃｍなので、

ＰＡ＝ＰＤ＝８ｃｍと求められ、このことから三角形ＰＡＤは正三角形

ということがわかります。

よって、三角形ＰＢＣも正三角形なので、角Ｂ＝角Ｃ＝６０度です。

三角形ＯＡＢ、ＯＣＤは共に二等辺三角形で、角Ｂ＝角Ｃ＝６０度

なので、三角形ＯＡＢ、ＯＣＤも正三角形とわかり、このことから、

ＯＡ＝ＯＤ＝８ｃｍと求まり、台形ＡＢＣＤは、図２のように、３個の

正三角形ＯＡＢ，ＯＤＡ，ＯＣＤから構成されていることがわかります。

　

図２をよく見ると、三角形ＯＡＢを６０度時計回りに回転させると

三角形ＯＤＡの位置に。三角形ＯＤＡを６０度時計回りに回転

させると、三角形ＯＣＤの位置に来る、というイメージが見えます。

三角形ＯＤＡを６０度回転させると、三角形ＯＣＤの位置にくるので、

そのとき点Ｅ はどこの位置にくるかというと、下の図３のように、

ＤＦ＝３ｃｍとなる点Ｆの位置になります。

　

ＯＥ がどこへ回転するかを考えるだけでなく、ＯＥ を含む

三角形ＯＤＡの回転を考えるとよいでしょう。

三角形ＯＡＥ と三角形ＯＤＦについては、

ＯＡ＝ＯＤ、ＡＥ＝ＤＦ、角ＯＡＥ＝角ＯＤＦ なので合同で、

当然ながらＯＥ ＝ＯＦ と証明されます。

　ここで、ＯＥ からＯＦ まで、どれくらい回転したのか、

回転角度＝角ＥＯＦ ＝角ＥＯＤ＋角ＤＯＦ となります。

ここで、角ＤＯＦ＝角ＡＯＥ なので、

角ＥＯＤ＋角ＤＯＦ＝角ＥＯＤ＋角ＡＯＥ＝角ＡＯＤ＝６０度 です。

すなわち、三角形ＯＢＥが６０度回転すると、点Ｅ はＣＤ上の点Ｆ

まで移動することがわかります。

回転角度がわかったので、辺ＯＢを６０度回転させてみましょう。

すると、角ＡＯＢ＝６０度なので、点Ｂは、点Ａの位置に移動し、

図４のように三角形ＯＡＦに、三角形ＯＢＥは移動することに

なります。

　　

移動先がわかったので、問題の通過部分について調べます。

辺ＯＢは、回転させると扇形ＯＡＢの部分を通るので、

三角形ＯＡＢの部分はすべて通ります。

よって、四角形ＡＢＯＥのうち、三角形ＯＢＥが通らない部分は、

下の図５の色のついた部分ということになります。

　　

　（２）ＡＦとＢＥの交点をＧ とします。

三角形ＯＢＥの面積は、等積移動させて正三角形ＯＡＢの面積と

等しいので、正三角形と三角形ＡＥＧの面積比を求めていきます。

すると、三角形ＡＢＥ において、ＢＧ：ＧＥを求めればよさそうです。

なぜなら、三角形ＡＢＥは、等積変形によって、三角形ＡＯＥ と

等しくなり、ＡＥ：ＥＤ＝３：５ より、これは正三角形の３/８の面積に

相当するからです（図６）

　　

　ＢＧ：ＧＥの比を求めるには、ＡＥとＢＣが平行であることを利用して

ＡＦとＢＣの交点をＨとすると、三角形ＡＥＧと三角形ＨＢＧが相似に

なるので、ＢＧ：ＧＥ＝ＢＨ：ＡＥ より求めることができます（図７）

そこで、ＢＨを求めなければなりません。

ＢＨのうち、ＢＣ＝１６ｃｍとわかっていますので、ＣＨを求めます。

ここで、図８のように、三角形ＡＤＦと三角形ＨＣＦが相似である

ことを利用すると、ＤＦ＝３ｃｍ、ＦＣ＝５ｃｍなので、

ＡＤ：ＣＨ＝３：５ という比であることがわかり、ＡＤ＝８ｃｍより、

ＣＨ＝８÷３×５＝４０/３ （ｃｍ） です。

よって、ＢＨ＝１６＋４０/３＝８８/３ 　（ｃｍ）です。

ゆえに、ＢＨ：ＡＥ＝８８/３ ： ３＝８８：９ なので、

ＢＧ：ＧＥ ＝８８：９ とわかります。

三角形ＡＥＧ は、三角形ＡＢＥの９/９７ で、

三角形ＡＢＥ は、三角形ＯＢＥ の３/８ なので、

三角形ＡＥＧは、三角形ＯＢＥの

３/８ × ９/９７ ＝２７/７７６（倍） となります。

　（３）　（１）より、三角形ＯＥＦ は正三角形です。

　　　

また、三角形ＯＡＥ と三角形ＯＤＦ は合同なので、

四角形ＯＥＤＦ の面積は、正三角形ＯＡＤの面積と等しい

ことがわかります。このことを利用すると、正三角形ＯＥＦ の

面積は、四角形ＯＥＤＦ から、三角形ＤＥＦ の面積を除いたもの、

すなわち正三角形ＯＡＤの面積から、三角形ＤＥＦの面積を

除いたものとなります。

　三角形ＤＥＦの面積は、正三角形の面積の（３/８）×（５/８）＝

１５/６４ に相当するので、正三角形ＯＥＦ の面積は、

正三角形ＯＡＤの面積の、１－１５/６４＝４９/６４ になります。

すなわち、面積比が、１：４９/６４ です。

これは、相似比が、１：７/８ ということを示しています。

よって、正三角形ＯＡＤの１辺が８ｃｍなので、

正三角形ＯＥＦ の１辺は７ｃｍということです。

よって、ＯＥ ＝７ｃｍ とわかります。

　＜別解＞

　　三角形ＯＥＦ が正三角形なので、ＯＤとＥＦの交点をＪとすると、

図１０の三角形ＯＥＪ と三角形ＯＥＤ は、角度がすべて等しいので

相似であることがわかります。

すると、ＯＥ ：ＯＪ ＝ＯＤ ： ＯＥ という比が成り立ちます。

ＯＤ＝８ｃｍとわかっているので、ＯＪの長さを求めるため、

ＥＦの延長とＯＣの延長の交点をＩ とすると、

三角形ＤＥＦ と三角形ＣＩＦは相似で、相似比は

ＤＦ：ＦＣ＝３：５とわかります。

よって、ＣＩ ＝ＥＤ÷３×５＝２５/３ ｃｍ と求められ、

三角形ＥＤＪ と三角形ＩＯＪ が相似なことから、

ＤＪ：ＯＪ＝ＥＤ：ＯＩ ＝５：８＋２５/３＝５：４９/３＝１５：４９

よって、ＯＪ＝８÷（１５＋４９）×４９＝４９/８　（ｃｍ）

と求めることができます。

ＯＥ ： ＯＪ＝ＯＤ ： ＯＥ  　に数値を入れると、

ＯＥ ：４９/８ ＝８ ：ＯＥ となります。

よって、ＯＥ × ＯＥ ＝８×４９/８＝４９ となり、

ＯＥ ＝７ （ｃｍ） と求められます。　

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