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2009年12月11日 (金)

規則性の問題 図形 第5問 フラクタル図形 (甲陽学院中学 2001年(平成13年度) 算数入試問題)

 

問題 (甲陽学院中学 2001年 算数入試問題)

    難易度★★★★★

 

面積が4374c㎡ の正三角形があります。正三角形の各辺を

3等分して、まん中の部分にその長さを1辺とする正三角形を

つなぐと図1のような図形になります。

Pic_0796q

図1の図形の各辺を3等分して、同様にまん中の部分に同じ長さの

正三角形をつなぐと図2のような図形になります。このような作業を

くり返すとき、次の問に答えなさい。

 

 (1)図1の図形の面積を答えなさい。

 (2)図2の図形の面積を答えなさい。

 (3)図2の図形から、同様の作業を2回した後の図形の面積を

    答えなさい。

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解答

 (1)元の正三角形は、下の図3のように9分割することができ、

図1の図形は、正三角形が3個増えたことになるので、その面積は

4374÷9×12=5832c㎡ となります。

   Pic_0797a

 (2)図2で増える部分は、元の正三角形を9分割したものを、

さらに9分割したもので、4374÷9÷9=54c㎡ です。

これが何個増えるかを数えればよいわけになります。 

 

図1では、元の正三角形から、各辺1個で、合計3個増えています。

図2でも、各辺につき1個増えています。

 Pic_0798a

辺の数はどのように増えるかというと、図4のように、

1つの辺が、4つの辺に変わります。

 

図1では、元の正三角形の3辺 → 3×4=12辺になっているので、

図2で増える三角形の数は12個ということになります。

 

よって、図2の図形の面積は、

図1の図形の面積+12×54=5832+648=6480c㎡

となります。

 

 (3)図2の図形から、さらに2回の作業をします。

まず、1回作業をすると、図2の図形から増える正三角形の面積は

4374÷9÷9÷9=54÷9=6c㎡  です。

増える正三角形の個数は、図2の辺の数と等しく、

12×4=48個 です。

 

よって、1回作業した後の面積は、

6480+6×48=6768c㎡ です。

 

ここまでを表にすると、下の図5のようになります。

Pic_0799a

さらに、2回目の作業をすると、増える正三角形の面積は、

6÷9=2/3c㎡ です。

増える正三角形の個数は、48×4(個) です。

 

よって、求める図形の面積は、

6768+48×4×2/3= 6896c㎡ となります。

 

規則性を見つけることがカギを握っています。

 

 

 甲陽学院中学の過去問題集は → こちら

 甲陽学院中学の他の問題は → こちら 

 

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