場合の数 並べ方 第１４問 （駒場東邦中学 2000年（平成12年度） 中学受験算数問題）

問題 （駒場東邦中学 2000年 受験算数問題） 難易度★★★★★

数字の「１」と「２」だけを使って、２つの４けたの整数を作ります。

作った２つの整数を、それぞれの同じけたにある数字同士をかける

ことを、「Ｘ * Ｙ」で表すことにします。

　たとえば、１２２１*２２２２＝２４４２　、　２２２１*１１２１＝２２４１

となります。このとき、次の問に答えなさい。

　（１）作ることができる４けたの整数は何個ありますか。

　（２）Ｘ*１１１１ を計算したところ、３の倍数になりました。

　　　 このとき、Ｘとして考えられるものを全て書きなさい。

　（３）1212*Ｙ を計算したところ、３の倍数になりました。

　　　 このとき、Ｙとして考えられるものを全て書きなさい。

　（４）１１１１、１２１２、Ｘ、Ｙ の４つの４けたの整数から

　　　 ２つを選んで「*」を用いた計算をしたところ、

　　　 どの計算結果も３の倍数になりました。

　　　 Ｘ，Ｙとして考えられる組み合わせを全て書きなさい。

　　　 ただし、ＸよりもＹの方が大きい整数とします。

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解答

　（１）一の位、十の位、百の位、千の位、すべて１か２の２通りの

数字を組み合わせるので、２×２×２×２＝１６通り の整数を作る

ことができます。

　（２）４けたの整数Ｘを、「ＡＢＣＤ」と考えます。

すると、Ｘ*1111＝ＡＢＣＤ * 1111＝ＡＢＣＤ となります。

整数ＡＢＣＤが３の倍数のとき、Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝３の倍数です。

（３の倍数の性質は　→　こちら を参照）

Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは「１」、「２」のどちらかなので、４つの数字が

「１，１，２，２」のときだけ、１＋１＋２＋２＝６で、３の倍数になり、

このときの「Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ」の組み合わせは、

１と１がとなり合っているもの → １１２２，２１１２，２２１１

１と１がはなれているもの → １２２１，１２１２，２１２１

以上６通り となります。

　（３）４けたの整数Ｙについて、同様に「ＡＢＣＤ」としてみます。

1212*Ｙ＝1212 * ＡＢＣＤ＝Ａ ２×Ｂ Ｃ ２×Ｄ　となります。

これが３の倍数なので、Ａ＋２×Ｂ＋Ｃ＋２×Ｄ＝３の倍数 です。

Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは「１」か「２」のどちらかなので、

２×Ｂ、２×Ｄ は、「２」か「４」 ですね。

いろいろ解き方はあると思いますが、　　

２×Ｂ、２×Ｄの値によって考えてみます。

Ｂ，Ｄが共に１のとき、２×Ｂ＋２×Ｄ＝２＋２＝４なので、

Ａ＋Ｃ＝２ならば、合計して４＋２＝６で３の倍数になります。

よって、（Ａ，Ｃ）＝（１，１）となればよく、１１１１ があてはまります。

Ｂ，Ｄの片方が１、片方が２のとき、２×Ｂ＋２×Ｄ＝６になるので、

Ａ＋２×Ｂ＋Ｃ＋２×Ｄ＝３の倍数になるためには、Ａ＋Ｃも３の

倍数になればよく、（Ａ，Ｃ）＝（１，２）または（２，１）です。

よって、１１２２、２１１２、１２２１、２２１１ があります。

最後に、Ｂ，Ｄが共に２のとき、Ａ＋２×Ｂ＋Ｃ＋２×Ｄ＝３の倍数に

なるのは、２×Ｂ＋２×Ｄ＝８なので、Ａ＋Ｃ＝４のときで、

（Ａ，Ｃ）＝（２，２）で、２２２２ があてはまります。

よって、Ｙ＝１１１１，１１２２，２１１２，１２２１，２２１１，２２２２

の６通り が考えられます。

　（４）1111、1212、Ｘ、Ｙ から、どの２つを組み合わせて計算しても

３の倍数になるので、当然１１１１*１２１２＝１２１２で３の倍数です。

Ｘ*１１１１を満たすＸは（２）の６通りでした。

１２１２*Ｙを満たすＹは（３）の６通りでした。

確認することは、

Ｘ*Ｙ の結果が３の倍数かどうか

Ｘ*１２１２ の結果が３の倍数かどうか

Ｙ*１１１１ の結果が３の倍数かどうか　　の３つについてです。

まず、簡単なＹ*１１１１について調べます。

Ｙ＝１１１１，１１２２，２１１２，１２２１，２２１１，２２２２ なので、

Ｙ*１１１１＝１１１１，１１２２，２１１２，１２２１，２２１１，２２２２ となり、

３の倍数となるのは、1122，2112，1221，2211 の４通りです。　

次に、Ｘ*１２１２について調べます。

Ｘ＝１１２２，２１１２，２２１１、１２２１，１２１２，２１２１ で、

計算結果は順に１２２４、２２１４、２４１２、１４２２、１４１４、２２２２

となり、Ｘのうち１２１２，２１２１のときは３の倍数になりません。

よって、Ｘ＝1122、2112、2211、1221 の４通りに限られます。

最後に、Ｘ*Ｙについて調べます。

Ｘ＝1122、2112、2211、1221

Ｙ＝1122、2112、1221、2211　

ここで、ＸよりもＹの方が大きい整数という条件があるので、

小さい順に並べてみましょう。

Ｘ＝1122、1221、2112、2211

Ｙ＝1122、1221、2112、2211　まったく同じ整数ですね。

Ｘ*Ｙについて必要な場合を計算すると（合計６通り）

1122*1221＝1242・・・３の倍数

1122*2112＝2124・・・３の倍数

1122*2211＝2222

1221*2112＝2222

1221*2211＝2421・・・３の倍数

2112*2211＝4212・・・３の倍数

以上より、（Ｘ，Ｙ）の組み合わせとして成り立つのは、

　　　（1122、1221）、（1122、2112）、

　　　（1221、2211）、（2112、2211）

以上の４通り となります。

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