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2009年12月25日 (金)

場合の数 並べ方 第16問 (ラ・サール中学 2000年(平成12年度) 入試問題 算数)

 

問題 (ラ・サール中学 2000年 入試問題 算数) 難易度★★★

 

サイコロをふって、3回同じ数が出たら終わりとし、それまでに

出た目の数を合計して得点とします。

 

 (1)最大でサイコロを何回ふることができますか。

 (2)4回で終わり、得点が10点になるような目の出方は何通り

    ありますか。

 (3)得点が10点になるような目の出方は何通りありますか。

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解答

 (1)サイコロをふる回数が最大になるのは、1から6までの目を

すべて2回ずつ出した後、どれかの目を1回出したときで、

その回数は、6×2+1=13回 です。

 

 (2)4回までの出た目の合計が10になる目の出方は、

(1,3,3,3)、(4,2,2,2)の2通りあり、それぞれ最後の

4回目は3,2でなければならないので、目の出方は、

(1,3,3,3)、(3,1,3,3)、(3,3,1,3)、

(4,2,2,2)、(2,4,2,2)、(2,2,4,2) の6通り です。

 

 (3)3回目で10点になることは、ありません。

       (10は3で割り切れない)

 

●4回目で終わり得点が10点になるのは、(2)より6通りあります。

 

●5回目で終わり得点が10点になる場合を考えると、

(3,4,1,1,1)、(2,5,1,1,1)、(1,6,1,1,1)

(1,3,2,2,2)、(2,2,2,2,2) 、(0,1,3,3,3)

この3通りがあります。

 (3,4,1,1,1)の目の出方を考えると、最後は「1」ですので、

残りの(3,4,1,1)の並び方を考えます。

 

最初の目が3のとき、(1,1,4)の並び方 → 3通り

(3,4,1,1)、(3,1,4,1)、(3,1,1,4)

最初の目が4のとき、(1,1,3)の並び方 → 3通り

(4,3,1,1)、(4,1,3,1)、(4,1,1,3)

最初の目が1のとき、(1,3,4)の並び方 → 6通り

(1,1,4,3)、・・・(1,4,3,1)

 

よって、5回で終わり、得点が10点になるのは12×3=36通り

あります。

 

●6回目で終わり得点が10点になる場合を考えると、

(1,1,1,2,2,3)、(1,1,1,1,2,4)

(2,2,2,1,1,2)

1通り あります。 

なお、ここで7回目で終わり得点が10点になることはないことが

わかります。

 

最後の6回目は「1」なので、残りの(1,1,2,2,3)の出方は、

5回目に調べた目の出方を参考にすると、

 1回目が1のとき、残り(1,2,2,3)の並び方は、12通り。

 1回目が2のとき、残り(1,1,2,3)の並び方は、12通り。

 1回目が3のとき、残り(1,1,2,2、)の並び方は、6通り。

合計12+12+6=30通り あります。

 

 よって、得点が10点になるような目の出方は、

6+36+30=72通り あります。

 

 

 ラ・サール中学の過去問題集は → こちら

 ラ・サール中学の他の問題は → こちら  

 

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