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2009年12月 1日 (火)

場合の数 図形の選び方 第4問 (桜蔭中学 2000年(平成12年度) 受験算数問題)

 

問題 (桜蔭中学 2000年 算数受験問題) 難易度★★★★★

 

1辺10cmの方眼紙に、図のように1cmごとに点を描きました。

  Pic_0747q

(1)図1の正方形ABCDの面積を求めなさい。

(2)図2に、面積が29c㎡ となるように正方形PQRSを1つ

   描き込みなさい。ただし、4つの頂点はすべて、必ず

   方眼紙の点の上にあるようにしなさい。

(3)(2)の正方形PQRSは、何通り描くことができますか。

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解答

 (1)正方形ABCDは、図3のように正方形EFGHから、

三角形AEBと合同な三角形4つの面積を除いたものです。

  Pic_0748a

よって、面積は、10×10-4×6÷2×4=52c㎡ となります。

 

 (2)正方形PQRSの面積が29c㎡ なので、正方形の1辺の

長さは整数にはなりません。(正方形PQRSの1辺は

正方形EFGHの1辺と平行になることはありません)

 

よって、正方形PQRSは図4のように正方形KLMNの内部

あることになります。

   Pic_0749a

K,L,M,N,P,Q,R,Sは、すべて方眼紙の点上にあります

  

正方形KLMNの1辺が10cmのとき、正方形PQRSの面積が

29c㎡になるかどうか調べてみると、

(KN=10cmのとき、正方形PQRSの面積を調べると)

KP+PN=10cm となるような点Pの位置(KP,PNの組み合わせ)

(KP,PN)=(1,9)、(2,8)、(3,7)、(4,6)、(5,5)、

        (6,4)、(7,3)、(8,2)、(9,1)

以上の9通りあり、それぞれ下の図5のようになります。

Pic_0750a

このとき、正方形PQRSの面積は、それぞれ

10×10-1×9÷2×4=100-18=82

10×10-2×8÷2×4=100-32=68

10×10-3×7÷2×4=100-42=58

10×10-4×6÷2×4=100-48=52

10×10-5×5÷2×4=100-50=50

10×10-6×4÷2×4=100-48=52

10×10-7×3÷2×4=100-42=58

10×10-8×2÷2×4=100-32=68

10×10-9×1÷2×4=100-18=82

 

このようにすると、

正方形KLMNの面積から正方形PQRSの面積(29c㎡)を除き、

合同な4つの直角三角形の面積を求めればよいことに

気づきます。

 

すなわち、10×10-三角形の面積×4=29 という式が

成り立つということです。

 

さらに、4つの三角形の面積は、KP×PN÷2×4=KP×PN×2

となることから、

10×10-KP×PN×2=29 が成り立つかどうかを

調べればよいことになります。

 

(KP,PN)=(1,9)、(2,8)、(3,7)、(4,6)、(5,5)、

        (6,4)、(7,3)、(8,2)、(9,1)

という組み合わせなので、

KP×PN=9,16,21,24,25 の5通りです。

 

10×10-KP×PN×2=29 より、

KP×PN×2=100-29=71 となり、

KP×PN=整数なので、2倍すると偶数にならなければ

なりません71は奇数です。よって、これを満たす点Pは

ないことになります。

 

 次に、KN=9cmのときは、

9×9-KP×PN×2=29 という式になります。

ここから、KP×PN=(81-29)÷2=26 が条件となります。 

(KP,PN)=(1,8)、(2,7)、(3,6)、(4,5)、

        (5,4)、(6,3)、(7,2)、(8,1)

という組み合わせになり、

KP×PN=8,14,18,20 の4通りありますが、

この中には、KP×PN=26 となるものはないので、

条件を満たしません。

 

 次に、KN=8cmのとき、

8×8-KP×PN×2=29 という式になりますが、

KN=10cmのときと同様に、KP×PNは整数ですので、

29が奇数なので、この式を満たすことはできません。

KN=奇数cmのときだけ調べればよいわけです)

 

 KN=7cmのときは、

7×7-KP×PN×2=29 という式になり、

KP×PN=(49-29)÷2=10 が条件です。

 

(KP,PN)=(1,6)、(2,5)、(3,4)

        (6,1)、(5,2)、(4,3)

という組み合わせから、

(KP,PN)=(2,5)、(5,2)のとき

KP×PN=10となり、条件を満たします

 

 KN=6cmのときは、調べるまでもなく、条件を満たせません。

(6×6-KP×PN×2=29 を満たせない)

 

 KN=5cmのときは、正方形KLMNの面積が5×5=25c㎡ で、

正方形PQRSの面積(29c㎡)より小さくなってしまいますので、

KNが5cmより短いと正方形PQRSが存在できません。 

 

正方形PQRSの例を図2に書き込むと、図6のようになります。

  Pic_0751a

 

 (3)正方形PQRSは、図7のように2通りできます。

Pic_0752a

さらに、正方形PQRSは1辺7cmの正方形KLMNの内部にある

ことから、10cm×10cmの方眼紙に7cm×7cmの正方形が

何通り描けるかを調べればよく、4×4=16通り 描くことができる

ことがわかります。

 

よって、正方形PQRSは、16×2=32通り 描くことができます。

 

 

 桜蔭中学の過去問題集は → こちら

 桜蔭中学の他の問題は → こちら 

 

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