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2009年11月13日 (金)

平面図形の面積 第59問 (芝中学 2009年(平成21年度) 入試算数問題)

 

問題 (芝中学 2009年 入試算数問題) 難易度★★★★

 

1つの面積が60c㎡の正六角形を3つ合わせた下のような

図形があります。

  Pic_0674q

(1)図1の色のついた部分(三角形ABC)の面積を答えなさい。

(2)図2の色のついた部分(四角形APQR)の面積を答えなさい。

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解答

 (1)三角形ABCは、下の図3のように4つの部分に分けられ、

AFを底辺として、AFに平行なBD,CE上に頂点を等積移動

できます。

  Pic_0675a

これらは正三角形7個分の面積と等しく、正六角形が6個の

正三角形に分けられることから、三角形ABCの面積は

60÷6×7=70c㎡ となります。

 

 (2)図2の四角形APQRは、図の対称性から、

三角形APQ+三角形ARQ と考えられるので、

片方(ここでは三角形APQ)の面積を求められれば、

それを2倍にすれば四角形APQRの面積になります。

 

三角形APQについて考えると、下の図4のように、

三角形ABQの中にあります。

 Pic_0676a

三角形ABQの面積は求められそうなので、AP:PBがわかれば、

面積が求められます。そこで、AP:PBを求める材料を調べると、

下の図5のように、

 Pic_0677a

三角形APHと三角形BPGが、AHとBGが平行なので、相似で、

AH:BG=2:1より、AP:PB=2:1 とわかります。

よって、三角形APQの面積は、三角形ABQの面積の2/3です。

 

三角形ABQの面積は、(1)の図3のように等積変形すると、

正三角形2.5個分に相当するので、正六角形の面積が60c㎡

なので、

60÷6×2.5=25c㎡ です。

 

よって、四角形APQRの面積は、

25×2/3×2=100/3=33と1/3 (c㎡) となります。

 

 

 芝中学の過去問題集は → こちら

 芝中学の他の問題は → こちら

 

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