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2009年11月20日 (金)

場合の数 第18問 式を成立させる (四天王寺中学 2009年(平成21年度) 中学入試算数問題)

 

問題 (四天王寺中学 2009年 入試算数問題) 難易度★★★

 

1から9までの数字が書かれた9枚のカード

1,2,3,4,5,6,7,8,9があります。9枚の中から3枚を選んで、

下のア、イ、ウの場所に置いて答えを求めます。

            ア×イ+ウ

例えば、アに3のカード、イに5のカード、ウに2のカードを置くと、

3×5+2となり答えは17になります。

アに5のカード、イに3のカード、ウに2のカードを置いても答えは

17になりますが、答えが同じでもカードの置き方が異なれば

違う置き方と考えます。

(1)答えが最も小さくなるようなカードの置き方は何通りありますか。

(2)答えが偶数になるようなカードの置き方は何通りありますか。

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解答

 (1)最も小さくなるのは、

ア:1、イ:2、ウ:3  →  1×2+3=5

ア:2、イ:1、ウ:3  →  2×1+3=5

ア:1、イ:3、ウ:2  →  1×3+2=5

ア:3、イ:1、ウ:2  →  3×1+2=5

 以上の4通り です。

 

 (2)ア×イ+ウ=偶数になるには、

①ア×イ 、 ウ がともに偶数

②ア×イ 、 ウ がともに奇数  の場合があります。

(偶数+偶数=偶数、奇数+奇数=偶数)

 

①のとき、ア×イが偶数になるには、

A:ア、イがともに偶数

B:アが偶数、イが奇数

C:アが奇数、イが偶数 の場合があります。

 

 Aのとき、

ア・・・2,4,6,8の4通り

イ・・・アから1つ除いて3通り

ウ・・・イから1つ除いて2通り  なので、4×3×2=24通り です。

 

 Bのとき、

ア・・・2,4,6,8の4通り

イ・・・1,3,5,7,9の5通り

ウ・・・アから1つ除いた3通り なので、4×5×3=60通り です。

 

 Cのとき、

ア・・・1,3,5,7,9の5通り

イ・・・2,4,6,8の4通り

ウ・・・イから1つ除いた3通り なので、5×4×3=60通り です。

 

 よって、①の場合、24+60+60=144通り あります。

 

 次に、②のとき、ア×イが奇数になるのは、

ア、イ、ともに奇数でなければなりません。

すなわち、ア、イ、ウが奇数なので、

ア・・・1,3,5,7,9の5通り

イ・・・アから1つ除いた4通り

ウ・・・イから1つ除いた3通り なので、5×4×3=60通り です。

 

 ①、②の場合を合わせると、144+60=204通り となります。

 

 

 四天王寺中学の過去問題集は → こちら

 四天王寺中学の他の問題は → こちら

 

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