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2009年11月13日 (金)

場合の数 並べ方 第13問 (白陵中学 2009年(平成21年度) 算数受験問題)

 

問題 (白陵中学 2009年 算数受験問題) 難易度★★★★★

 

マス目に1から順にマス目の個数までの整数を、右へいくほど、

下へいくほど大きいものを入れていきます。たとえば、図1のような

マス目には、図2のように2通りの数字の入れ方があります。

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_0678q

(1)、(2)、(3)のマス目に入る数字の入れ方を 

図2のように、すべて書きなさい。

 

(4)のマス目に入る数字の入れ方は何通りあるか説明しなさい。

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解答 

 (1)左上のかどには、必ず「1」が入ります。

あとは、下の1マスに2,3,4のいずれかが入るかなので、

下図のように、合計3通りあります。

          Pic_0679a_2

 (2)左上のかどには「1」が、右下のかどには「6」が必ず入ります。

           Pic_0680a

残り4マスに入る2,3,4,5の入れ方を調べると、

「2」が「1」の右にあるときと、下にあるときと分けて、

下図のように5通りとなります。

    Pic_0681a_3

 (3)「2」が「1」の右にくる場合と、下にくる場合とで考えると、

下の図5のように6通りあります。

   Pic_0682a

 

 

(4)のマス目のとき、「5」は下の図6のような水色のマスにしか

入りません。

         Pic_0683a_2

 「5」が左下の場合と、右上の場合について、

「1」~「5」までの数字がどのマス目に入るか考えると、

 

 まず、(3)の図5の6通りがあります。

残りの4マスには、6,7,8,9の4つの数字が図2のように2通り

入るので、合計で6×2=12通り 考えられます。

 

 次に、図2の2通りに、「5」を左下、右上につけて、

下の図7のような4通り があります。

   Pic_0684a_2

このとき、残りの4マスに入る数字の入り方は、

6,7,8,9のうち6,7,8の3つの数字が「5」のとなりに入る

ことができるので、それぞれ3通りです。

よって、この場合、4×3=12通り 数字の入れ方があります。

 

次に、「5」が9個のマス目のまん中にある場合も、

「1」~「5」までの数字がどのマス目に入るか考えると、

下の図8のように6通り あります。

Pic_0685a_2

残りの4マスに入る数字の入り方は、それぞれ3通りなので、

「5」が中央の場合、6×3=18通り の数字の入り方があります。

 

ゆえに、(4)のマスでは、12+12+18=42通り

数字の入れ方があります。

 

 

 <別解>

(4)下の図9のように、「1」の右もしくは下に「」が、

「9」の上もしくは左に「」が必ず入ります。

        Pic_0686a_3

「2」と「8」の位置で調べてみます。

 

まず、下の図10のように、「2」が「1」の下で、「8」が「9」の左の

場合と、「2」が「1」の右で、「8」が「9」の上の場合については、

  Pic_0687a_2

水色の4つのマスに入る数字4個の並び方は、図2のように2通り

あって、緑のマスに入る数字は5通りあるので、

それぞれ2×5=10通り で、合計10×2=20通り あります。

 

次に「2」の位置が「1」の右、「8」の位置が「9」の左のとき、

下の図11のように、「7」の位置は(A),(B)の2通りに分かれ

ます。

  Pic_0688a_2

(A)の場合、緑のマスの位置に入る数は、3,4,5,6のうちの

3,4,5の3通りで、それによってすべての数字の位置が

決まるので、「7」が(A)の位置では3通りの数字の並びが

考えられます。

 

次に(B)の場合、(B)-1、(B)-2のように「3」の位置が考えられ、

(B)-1のとき、残る黄色い3マスに4,5,6のどれでも入るので、

3ヶ所に3つの数字が入る入り方は、3×2×1=6通り です。

 

(B)-2のとき、自動的に「4」は図の緑の場所に入り、

残り2マスに5,6が入るので、その入り方は、2通り です。

 

よって、図11の場合、3+6+2=11通り の数字の入れ方が

あります。

 

最後に、「2」が「1」の下で、「8」が「9」の上のとき、

下の図12のように「3」の位置によって(C),(D)の2通りに

分けられます。(「7」の位置によって分けてもかまいません。)

 Pic_0689a_2

(C)の場合、「4」は自動的に緑のマスに入り、黄色にマスに入る

数字は、残りの5,6,7のどれでもよいので、(C)の場合は3通り

となります。

 

(D)の場合、(D)-1、(D)-2のように「7」の位置が考えられ、

(D)-1のとき、(B)-1と同様に残る3マスには4,5,6の

どの数字も入ることができるので、3×2×1=6通り

(D)-2のとき、「6」が自動的に緑のマスに入るので、

(B)-2と同様に残る2マスに4,5が入り、2通りです。

 

よって、図12の場合、3+6+2=11通り の数字の入れ方が

あります。

 

ゆえに、(4)の図では、20+11+11=42通り の数字の入れ方

があります。 

 

   

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コメント

(4)は(2)と(3)の答えを活用するやり方で解くこともできます。

1と9の入れ方は1通りしかない。
8は9と接する形で2通りある。
まず8を2通りのうちのどちらかに固定して、7を入れるとその入れ方は2通りある。
そのうち7が8と接するように入れると、残りの部分に数字を入れる組み合わせは(2)の答えから5通りと分かる。
7が9と接するように入れると6の入れ方は3通りある。
6を中央に入れると、残りの数字の入れ方は(3)の答えから6通りと分かる。
6を角の部分に入れると、残りの部分に数字を入れる組み合わせは(2)の答えからそれぞれ5通りと分かる。
8を固定した場合の残りの数字を入れる組み合わせは5+6+5+5=21通りになる。
8をもう一方の側に入れても、対称性から残りの数字を入れる組み合わせは同じく21通りあることが分かる。
よって組み合わせの合計は21+21=42通りになる。

投稿: 万打無 | 2010年11月19日 (金) 16時03分

万打無さま、コメントありがとうございます。
 
(2)、(3)を頭に入れて解く方法は
とても上手いですね。

いろいろ解き方があるのが算数の面白いところ
だと思います。

また、よい解法等ございましたら、
コメントよろしくお願いいたします。

投稿: 桜組 | 2010年11月30日 (火) 16時44分

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