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2009年11月 6日 (金)

場合の数 並べ方 第12問 (奈良学園中学 2009年(平成21年度) 算数受験問題)

 

問題 (奈良学園中学 2009年 算数受験問題) 難易度★★★★★

 

 (1)3けたの整数があります。このうち、どの2つの位の数を

    足しても9にならない整数は何個ありますか。

 (2)4けたの整数があります。このうち、どの2つの位の数を

    足しても9にならない整数は何個ありますか。

 (3)4けたの整数があります。このうち、どの位の数も異なり、

    どの2つの位の数を足しても9にならない整数は何個

    ありますか。

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解答

 (1)3けたの整数を【ABC】とすると、

Aに入る数字・・・1~9の9通り

Bに入る数字・・・0~9のうち、Aと足して9にならないもの:9通り

Cに入る数字・・・0~9のうち、A,Bと足して9にならないもの:8通り

 

ただし、A=Bのとき、Cに入る数字は0~9のうち9通りある

(11X、22X、33X、44X、55X、66X、77X、88X、99X)

ので、合計すると、9×9×8+9=657通り となります。 

 

<別解>

整数ABCの数字の並びは、下の図1のようになります。

A=1の例を示してあります。

      Pic_0649a_5

A=Bの場合、Aに入る数字は9通りで、Cに入る数字も

Aと足して9にならない数字なので9通りあり、9×9=81通り。

 

A≠Bの場合、Aに入る数字は9通りで、Bに入る数字は

Aと足して9になる数字と、B=Aの数字の2つを除いた8通りで、

Cに入る数字は、A,Bと足して9にならない数字で8通りあり、

9×8×8=576通り。

 

よって、合計すると、

A=Bの場合(9×9)+A≠Bの場合(9×8×8)

=81+576=657通り となります。

       

 (2)4けたの整数を【ABCD】とすると、

A=Bのとき、下の図2のように(1)の図1と同様になり、

657通り あります(9×(9+8×8)=657通り)

   Pic_0650a_2

次にA≠Bのときは、下の図3のようになります。

   Pic_0651a_2

Aに入る数字は、1~9の9通りです。

Bに入る数字は、A≠Bなので、0~9の10個の数字から、

A=Bのものと、Aと足して9になる数字を除いた8通りです。

 

A≠Bのとき、Cに入る数字は、A,Bと足して9になる2種類の数字

を除いた8通りあります。  

 

Cに入る数字がA,Bと等しいとき(2通り)、Dに入る数字は

0~9からA,Bと足して9になる数字を除いた8通り

Cに入る数字がA,Bとは異なる数字のとき(8-2=6通り)

Dに入る数字は、0~9から、A,B,Cと足すと9になる数字(3種類)

を除いた7通り

  

よって、A≠Bのとき、Aには9通り、Bには8通り、

★C=AまたはBのとき(2通り)→Dに8通り

★C≠A、Bのとき(6通り)→Dに7通り の数字があてはまるので、

9×8×(2×8+6×7)=72×58=4176通り あります。

  

よって、整数【ABCD】として考えられるものは、A=Bの場合と、

A≠Bの場合を合わせて、657+4176=4833通り あります。

  

 (3)ABCDのA≠B≠C≠Dのときが何通りあるかを調べると、

Aに入る数字:1~9の9通り

Bに入る数字:Aと、Aと足して9になる数字を除く8通り

   (9は奇数なので、Aと、Aと足して9になる数字は異なる)

Cに入る数字:AとBと、A,Bと足して9になる数字2つを除く6通り

   (Aと、Aと足して9になる数字は異なり、

    Bと、Bと足して9になる数字は異なり、

    Bは、Aと、Aと足して9になる数字とは異なるので、

    4つの数字はすべて異なる

Dに入る数字:AとBとCと、A,B,Cと足すと9になる数字3つの

         合計6個を除いた4通り

    (Aと、Aと足して9になる数字は異なり、

    Bと、Bと足して9になる数字は異なり、

    Cと、Cと足して9になる数字は異なり、

    Bは、Aと、Aと足して9になる数字とは異なり

    Cは、A,Bと、A,Bと足して9になる数字とは異なるので、

    6つの数字はすべて異なる

 

よって、4けたの整数ABCDとして考えられるものは、

Aに9通り、Bに8通り、Cに6通り、Dに4通りの数字が

それぞれ入りうるので、

      9×8×6×4=1728通り

あります。

 

 

 奈良学園中学の過去問題集は → こちら

 奈良学園中学の他の問題は → こちら

 

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