速さ 第１２問 （洛星中学 2009年（平成21年度） 受験算数問題）

問題　（洛星中学　2009年　受験算数問題　）　難易度★★★

半径５０ｍの円形の池があります。池の周りを地点Ｐから太郎は

秒速２ｍ、犬のポチは秒速５ｍで時計回りに同時に走り出しました。

ある地点Ｑでポチが太郎に追いつきました。そのあとポチは太郎と

逆向きに秒速３ｍで走り出しました。ポチは再び太郎と地点Ｒで

出会いました。そこからポチは池の中心を通るようにまっすぐに

秒速２ｍで泳ぎ、陸に上がると今度は秒速１ｍで時計回りに歩き

出しました。太郎は同じ速さで時計回りに走っているものとして、

次の問に答えなさい。円周率は３．１４とします。

　　　　　　

　（１）地点Ｒで太郎とポチが出会ったのは、地点Ｐを出発してから

　　　 何秒後ですか。

　（２）太郎がポチに追いつくのは、地点Ｐを出発してから何秒後

　　 　ですか。また、追いつくのは地点Ｐから時計回りに何ｍ

　　　 行ったところですか。

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解答　

　さて、皆様は前の問題と何が違うのか気づきましたか？

　　　　半径５０ｍの円形の池があります。

ここですね。ただ、これが違うだけですね。はい。

わたくし、問題を勘違いしたまま

解いてしまいましたので、そのまま掲載に至りました。

くれぐれも、受験生の方には、本番でこのようなことがないよう

お祈りいたします。０点になるだけです・・・。

気を取り直して、解説いたします。

　（１）まず、池の一周が何ｍあるかというと、

５０×２×３．１４＝３１４ｍ です。（大きい池ですね）

次に、地点Ｑを求めます。

何秒後にポチが太郎に追いつくかというと

３１４÷（５－２）＝１０４と２/３　（秒後）　です。

地点Ｑから、ポチは秒速３ｍで逆向きに、太郎はそのまま秒速２ｍ

で進みます。地点Ｑから太郎とポチが出会う地点Ｒまでにかかる

時間は、３１４（ｍ）÷（３＋２）＝６２と４/５　（秒） なので、

地点Ｐを出発してから、

（１０４と２/３）＋（６２と４/５）＝１６７と７/１５（秒後） となります。

　（２）太郎は地点Ｒに着くまでに、

２×（１６７と７/１５）＝３３４と１４/１５（ｍ）走るのですが、

一周３１４ｍなので、地点Ｐから時計回りに

２０と１４/１５（ｍ）のところが地点Ｒです。

地点Ｒから、ポチは秒速２ｍで池を横断し、太郎も秒速２ｍで

池を回るので、ポチが池をわたり終わった地点を地点Ｓ、

そのとき太郎がいる地点を地点Ｔとすると、下の図のように、

　　　　　

同じ速度で移動したので、移動した距離ＲＳとＲＴは同じです。

（青い矢印と赤い矢印の長さ）

ポチが泳いだ距離は、半径５０ｍの円の直径なので、１００ｍで、

この距離を泳ぐのにかかった時間は、１００÷２＝５０秒です。

太郎も地点Ｒから５０秒で１００ｍ走るので、ＲＴ＝１００ｍです。

よって、地点Ｓと地点Ｔの距離（緑の矢印部分）は、

地点Ｒから地点Ｓまでが３１４÷２＝１５７ｍ なので、

１５７－１００＝５７（ｍ）　ということになります。

その後、ポチは秒速１ｍ、太郎が秒速２ｍなので、

１秒間に１ｍずつ距離は縮まり、追いつくのは、

５７÷（２－１）＝５７秒後です。

太郎がポチに追いつくまでにかかった時間は、

地点Ｒから、５０＋５７＝１０７秒です。

（１）より、地点Ｒまでに１６７と７/１５（秒）かかっているので、

合計して１０７＋１６７＋７/１５＝２７４と７/１５（秒後）になります。

地点Ｒから１０７秒間に、太郎は、１０７×２＝２１４ｍ進み、

地点Ｒが地点Ｐから２０と１４/１５（ｍ）の地点なので、

太郎がポチに追いついたのは、地点Ｐから時計回りに、

２１４＋２０＋１４/１５＝２３４と１４/１５（ｍ） の場所となります。

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