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2009年11月 4日 (水)

場合の数 第16問 道順 (甲陽学院中学 2008年(平成20年度) 中学入試算数問題)

 

問題 (甲陽学院中学 2008年 入試算数問題) 難易度★★★

 

ある家には下図のように1番から16番までの正方形の部屋が

あり、となり合う部屋同士は行き来できるようになっています。

たとえば、6番の部屋からは2,5,7,10番の部屋へ行けます。

      Pic_0639q

1番の部屋が入り口になっていて、ここから一番奥の16番の部屋

まで行く行き方について、次の問に答えなさい。ただし、同じ部屋を

2回通るときは2回と数え、部屋はどのような順番で通ってもよい

ものとします。

 

(1)7番の部屋を必ず通るとき、最短の行き方は何通りありますか。

(2)7番と13番の部屋を必ず通るとき、最短の行き方は何通り

   ありますか。

(3)7番、10番、13番の部屋を必ず通るとき、最短の行き方は

   何通りありますか。

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解答 

 (1)1番から7番を通って16番の部屋へ行く行き方は、

下図のようになり、9通りとなります。

Pic_0640a_2

 (2)1番から7,13番の部屋を通って16番の部屋まで行く

行き方は、①1→7→13→16 ②1→13→7→16 の2通りの

行き方が考えられます。 

 

 まず、①のとき、1番の部屋から7番の部屋への行き方

(1)より、3通りです。7番の部屋から13番の部屋への行き方

    Pic_0641a

上図のように6通りあります。13番の部屋から16番の部屋

行く行き方は、13→14→15→16の順に進む1通りです。

 

よって、①のとき、1番の部屋から16番の部屋への行き方は、

3×6×1=18通り となります。

 

次に②のとき、1番の部屋から13番の部屋への行き方は、

1→5→9→13の順の1通りです。

13番の部屋から7番の部屋への行き方は、6通り

7番の部屋から16番の部屋への行き方は、3通りなので、

②のとき、1番の部屋から16番の部屋への行き方は、

1×6×3=18通りあります。

 

ゆえに、合計で、18+18=36通りの行き方があります。

 

 (3)1番から、7、10,13番の部屋を必ず通って16番の部屋へ

行くとき、最短の行き方は、①1→7→10→13→16 の行き方と、

1→13→10→7→16 の行き方の2通りとなります。

 

 ①のとき、1番の部屋から7番の部屋への行き方は3通り、

7番の部屋から10番の部屋への行き方は2通り、

10番の部屋から13番の部屋への行き方も2通り、

13番の部屋から16番の部屋への行き方は1通り、なので

①のときの1番から16番の部屋への行き方は、

3×2×2×1=12通りあります。

 

 次に、②のとき、1番から13番の部屋への行き方は1通り、

13番から10番の部屋への行き方は2通り、

10番から7番の部屋への行き方は2通り、

7番から16番の部屋への行き方は3通りなので、

②のときに1番から16番の部屋への行き方は、

1×2×2×3=12通りあります。

 

よって、合計で12+12=24通りの行き方があります。

 

 

 甲陽学院中学の過去問題集は → こちら

 甲陽学院中学の他の問題は → こちら

 

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